Question

18．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米．已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒．
（1）求CD的长．（结果保留根号）
（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：$\sqrt{2}$=1.414，$\sqrt{3}$=1.73）

Answer 1

分析 （1）作DE∥AB交BC于E，则∠CDE=∠A，设CD=x米，求出∠CED=30°，得出DE=2CD=2x，CE=$\sqrt{3}$x，证明BE=DE=2x，由BC=$\sqrt{3}$AC得出方程，解方程即可；
（2）由（1）得：x=20$\sqrt{3}$，得出BC的长，求出校车从B到C匀速行驶的速度，即可得出结论．

解答 解：（1）作DE∥AB交BC于E，如图所示：
则∠CDE=∠A=60°，
设CD=x米，
∵AC⊥l，
∴∠ACB=90°，
∴∠CED=30°，
∴DE=2CD=2x，
∴CE=$\sqrt{3}$x，
∵∠BDC=75°，
∴∠BDE=15°，
∵∠CED=∠BDE+∠DBE，
∴∠DBE=15°=∠BDE，
∴BE=DE=2x，
又∵∠A=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
∴$\sqrt{3}$x+2x=$\sqrt{3}$（x+40），
解得：x=20$\sqrt{3}$，
即CD=20$\sqrt{3}$米；
（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：
由（1）得：x=20$\sqrt{3}$，
∴BC=CE+BE=$\sqrt{3}$×20$\sqrt{3}$+2×20$\sqrt{3}$=60+40$\sqrt{3}$（米），
校车从B到C匀速行驶用时10秒，
速度为（60+40$\sqrt{3}$）÷10=6+4$\sqrt{3}$（米/秒）≈46.67千米/小时＜50千米/小时，
∴这辆车在本路段不超速．

点评 本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质、三角函数的运用；熟练掌握勾股定理的运用，通过作辅助线求出CD是解决问题的关键．