Question

3．如图，∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D，E是线段OC的中点，请过点E画直线分别交射线CD，OB于点M，N，探究线段OD，ON，DM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．首先根据OC是∠AOB的平分线，CD∥OB，判断出∠DOC=∠DC0，所以OD=CD=DM+CM；然后根据E是线段OC的中点，CD∥OB，推得CM=ON，即可判断出OD=DM+ON，据此解答即可．
（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON-DM．由（1），可得OD=DC=CM-DM，再根据CM=ON，推得OD=ON-DM即可．

解答 解：（1）当点M在线段CD上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=DM+ON．
证明：如图1，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOC=∠C0B，
又∵CD∥OB，
∴∠DCO=∠C0B，
∴∠DOC=∠DC0，
∴OD=CD=DM+CM，
∵E是线段OC的中点，
∴CE=OE，
∵CD∥OB，
∴$\frac{CM}{ON}$=$\frac{CE}{OE}$=1，
∴CM=ON，
又∵OD=DM+CM，
∴OD=DM+ON．

（2）当点M在线段CD延长线上时，线段OD、ON、DM之间的数量关系是：OD=ON-DM．
证明：如图2，
由（1），可得
OD=DC=CM-DM，
又∵CM=ON，
∴OD=DC=CM-DM=ON-DM，
即OD=ON-DM．

点评 （1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．