题目内容
12．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：
| 多面体 | 顶点数（V） | 面数（F） | 棱数（E） |
| 四面体 | 4 | 4 | 6 |
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 正八面体 | 6 | 8 | 12 |
（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是12；
（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数．
分析 （1）从表格观察发现：顶点数+面数-棱数=2；
（2）根据一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，得到关于E，V的二元一次方程，解出方程，将其代入顶点数+面数-棱数=2即可求解；
（3）设八边形的个数为y个，则三角形的个数为2y+2个，由题意可得y+2y+2=14，解方程求出y的值即可．
解答 解：（1）∵4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，
∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2；
（2）根据题意，可得$\left\{\begin{array}{l}{E=V+10}\\{E=3V}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{V=5}\\{E=15}\end{array}\right.$，
∵V+F-E=2，
∴F=2+E-V=2+15-5=12，
故答案为：12；
（3））∵$\frac{3V}{2}$=36=E，V=24，V+F-E=2，
∴F=14，
设八边形的个数为y个，
则三角形的个数为2y+2个，
由题意得y+2y+2=14，
解得：y=4，
∴2y+2=10，
答：该多面体外表面三角形的个数为10个．
点评 本题考查欧拉公式，熟记多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系是解题关键．
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