题目内容
8．我们来定义下面两种数：①平方和数：若一个三位数或者三位以上的整数分成左、中、右三个数后满足：中间数=（左边数）2+（右边数）2，我们就称该整数为平方和数；例如：对于整数251．它中间的数字是5，左边数是2，右边数是1．∵22+12=5，∴251是一个平方和数．又例如：对于整数3254，它的中间数是25，左边数是3，右边数是4，∵32+42=25∴2，34是一个平方和数．当然152和4253这两个数也是平方和数；
②双倍积数：若一个三位数或者三位以上的整数分拆成左、中、右三个数后满足：中间数=2×左边数×右边数，我们就称该整数为双倍积数；例如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，∵2×1×3=6，∴163是一个双倍积数，又例如：对于整数3305，它的中间数是30，左边数是3，右边数是5，∵2×35=30，∴3305是一个双倍积数，当然361和5303这两个数也是双倍积数；
注意：在下面的问题中，我们统一用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，请根据上述定义完成下面问题：
（1）如果一个三位整数为平方和数，且十位数为9，则该三位数为390；如果一个三位整数为双倍积数，且十位数字为4，则该三位数为241或142；
（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足什么数量关系；说明理由；
（3）$\overline{a625b}$为一个平方和数，$\overline{a600b}$为一个双倍积数，求a2-b2．
分析 （1）平方和数以及双倍积数的定义计算即可．
（2）平方和数以及双倍积数的定义，列出a、b的关系式，可得a=b．
（3）列方程组即可解决问题．
解答 解：（1）∵三位整数为平方和数，9=32+02，
∴左边数为3，右边数为0，
∴该三位数为390．
∵三位整数为双倍积数，且十位数字为4，
4=2×2×1，
∴该三位数为241或142．
故答案为390，241或142．
（2）如果一个整数既为平方和数，又是双倍积数．则a，b应该满足a2+b2=2ab，即（a-b）2=0，
∴a=b．
（3）由题意$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=625}\\{2ab=600}\end{array}\right.$，
易知（a-b）2=25，（a+b）2=1225，
∵a＞0，b＞0，
∴a-b=±5，a+b=35，
∴a2-b2=±175．
点评 本题考查因式分解的应用、平方和数以及双倍积数的定义、二元二次次方程组等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
练习册系列答案
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