Question

5．已知：P是⊙O外的一点，OP=4，OP交⊙O于点A，且A是OP的中点，Q是⊙O上任意一点．
（1）如图1，若PQ是⊙O的切线，求∠QOP的大小；
（2）如图2，若∠QOP=90°，求PQ被⊙O截得的弦QB的长．

Answer 1

分析 （1）先利用切线的性质得到OQ⊥PQ，然后利用锐角三角函数值的定义求∠QOP的大小；
（2）利用垂径定理，作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，先利用勾股定理计算出PQ，再证明Rt△QOD∽Rt△QPO，利用相似比计算出QD，从而得到BQ的长．

解答 解：（1）如图1，∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ，
∵A是OP的中点，
∴OP=2OA，
在Rt△OPQ中，cos∠QOP=$\frac{OQ}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠QOP=60°；
（2）作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，
∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，
∴PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵∠OQD=∠PQO，
∴Rt△QOD∽Rt△QPO，
∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2$\sqrt{5}$，
∴QD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴QB=2QD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．解决本题的关键是垂径定理和相似三角形的性质的运用．