Question

16．如图，在平面直角坐标系x0y中，Rt△OA₁C₁，Rt△OA₂C₂，Rt△OA₃C₃，Rt△OA₄C₄…的斜边都在坐标轴上，∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃=∠A₄OC₄=…=30°．若点A₁的坐标为（3，0），OA₁=OC₂，OA₂=0C₃，OA₃=OC₄…，则依此规律，点A₂₀₁₅的横坐标为-4×$（\frac{4}{3}）^{1006}$．

Answer 1

分析 根据解直角三角形找出部分A点的坐标，根据A点的坐标找出点的变化规律“A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）”，由此规律即可找出点A₂₀₁₅的横坐标．

解答 解：∵Rt△OA₁C₁，Rt△OA₂C₂，Rt△OA₃C₃，Rt△OA₄C₄…中，∠A₁OC₁=∠A₂OC₂=∠A₃OC₃=∠A₄OC₄=…=30°，
∴OA₁=3，OA₂=$\frac{O{A}_{1}}{cos∠{A}_{2}O{C}_{2}}$=2$\sqrt{3}$，OA₃=$\frac{O{A}_{2}}{cos∠{A}_{3}O{C}_{3}}$=4，OA₄=$\frac{O{A}_{3}}{cos∠{A}_{4}O{C}_{4}}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，OA₅=$\frac{O{A}_{4}}{cos∠{A}_{5}O{C}_{5}}$=$\frac{16}{3}$，…，
∴A₁（3，0），A₂（0，2$\sqrt{3}$），A₃（-4，0），A₄（0，-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），A₅（$\frac{16}{3}$，0），…，
∴发现规律：A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）．
∵2015=503×4+3，
∴点A₂₀₁₅的横坐标为-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2014}$=-4×$（\frac{4}{3}）^{1006}$．

点评 本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点的变化规律“A_4n+1（3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n}$，0），A_4n+2（0，3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+1}$），A_4n+3（-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+2}$，0），A_4n+4（0，-3×$（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{4n+3}$）”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据解直角三角形找出部分点A的坐标，根据点A的坐标找出点的变化规律是关键．