Question

20．如图，直角坐标系xOy中，正方形OABC的边AB与反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象交于点D，且AD：DB=1：8，则：
（1）点D的坐标为（$\frac{1}{3}$，3）；
（2）设P是反比例函数图象上的动点，则线段PB长度的最小值是$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）设点B的坐标为（m，m）（m＞0），根据比例关系找出点D的坐标，将点D的坐标代入到反比例函数中即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出m的值，将其代入点D的坐标中即可得出结论；
（2）设点P的坐标为（n，$\frac{1}{n}$）（n＞0），由点B的坐标利用两点间的距离公式找出BP=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$，根据二次函数的性质即可找出BP的最小值．

解答 解：（1）设点B的坐标为（m，m）（m＞0），
∵AD：DB=1：8，
∴AD：AB=1：9，
即点D的坐标为（$\frac{m}{9}$，m）．
将点D的坐标代入y=$\frac{1}{x}$中，得m=$\frac{1}{\frac{m}{9}}$，
即m²=9，解得：m=±3．
∴点D的坐标为（$\frac{1}{3}$，3）．
故答案为：（$\frac{1}{3}$，3）．
（2）设点P的坐标为（n，$\frac{1}{n}$）（n＞0），
∵点B的坐标为（3，3），
∴BP=$\sqrt{（3-n）^{2}+（3-\frac{1}{n}）^{2}}$，
=$\sqrt{{n}^{2}-6n+9+\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{6}{n}+9}$，
=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}）^{2}-6（n+\frac{1}{n}）+9+7}$，
=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$，
当n+$\frac{1}{n}$-3=0时，BP取最小值$\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）用m表示出点D的坐标；（2）找出线段BP=$\sqrt{（n+\frac{1}{n}-3）^{2}+7}$．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用两点间的距离公式表示出线段BP的长度是解题的关键．