题目内容
8．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC于E，连接CD．（1）如图1，如果∠A=30°，那么DE与CE之间的数量关系是DE=$\sqrt{3}$CE．
（2）如图2，在（1）的条件下，P是线段CB上一点，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，如果∠A=α（0°＜α＜90°），P是射线CB上一动点（不与B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转2α，得到线段DF，连接BF，请直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系（不需证明）．
分析 （1）求出BE=CE，解直角三角形求出BE即可；
（2）求出DC=DB，∠CDB=60°，根据旋转求出∠PDF=60°，DP=DF，求出∠CDP=∠BDF，根据SAS推出△DCP≌△DBF，根据全等性质求出CP=BF，解直角三角形求出CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$DE即可；
（3）当P在线段BC上时，BF+BP=2DEtanα，当P在BC延长线上时，BF-BP=2DEtanα，①如图1，求出DC=DB=AD，DE∥AC，推出∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP=BF，求出BF+BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtanα即可；
②如图2，求出DC=DB=AD，DE∥AC，求出∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，DP=DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtanα即可．
解答 解：（1）DE=$\sqrt{3}$EC，
理由是：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD，
∵DE⊥BC，
∴BE=EC，
即tan60°=$\frac{DE}{BE}$，
∴DE=$\sqrt{3}$BE，
即DE=$\sqrt{3}$CE，
故答案为：DE=$\sqrt{3}$CE；
（2）DE、BF、BP三者之间的数量关系是BF+BP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE，
理由如下：
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∠A=30°
∴DC=DB，∠CDB=60°．
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF．
又∵∠CDB=60°，∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$DE，
∴BC=2CE=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE，
∴BF+BP=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$DE．
（3）当P在线段BC上时，BF+BP=2DEtanα，当P在BC延长线上时，BF-BP=2DEtanα，
理由是：①如图1，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α-∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=DEtanα，
∴BC=2CE=2DEtanα，
即BF+BP=2DEtanα；
②当P在BC延长线上时，BF-BP=2DEtanα，
如图2，
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠A=α，
∴DC=DB=AD，DE∥AC，
∴∠A=∠ACD=α，∠EDB=∠A=α，BC=2CE，
∴∠BDC=∠A+∠ACD=2α，
∵∠PDF=2α，
∴∠FDB=∠CDP=2α+∠PDB，
∵线段DP绕点D逆时针旋转2α得到线段DF，
∴DP=DF，
在△DCP和△DBF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DB}\\{∠CDP=∠BDF}\\{DP=DF}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而 CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC，
在Rt△CDE中，∠DEC=90°，
∴$tan∠DCE=\frac{DE}{CE}$，
∴CE=DEtanα，
∴BC=2CE=2DEtanα，
即BF-BP=2DEtanα．
点评 本题考查了三角形外角性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP≌△DBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．
考前必练系列答案
如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（5，0），顶点B，C都在第一象限，对角线AC，OB相交于点D，双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）经过点D，且AC•OB=40，则k的值为8．
如图，在5×5的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点（除点F）都在边长为1的小正方形的顶点上，边DF，EF过小正方形顶点，则下列结论不正确的是（ ）| A． | ∠DEF=∠ABC | B． | △ABC和△DEF的面积比为3：2 | ||
| C． | △ABC的边AB上的高为1 | D． | △DEF的边DE上的高为$\frac{3}{2}$ |
如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）
如图，△ABC≌△DEF，∠C=∠DFE=90°，A与D是 对应点，要使△DEF通过几何变换与△ABC重合，必须有的变换是（ ）| A． | 轴对称 | B． | 平移 | C． | 旋转 | D． | 中心对称 |