Question

18．如图，⊙O是以原点为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆，点P是直线y=-x+6上的一点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则S_△PQO的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 4$\sqrt{2}$
• C． 6-$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先确定A点和B点坐标，再计算出AB=6$\sqrt{2}$，则OH=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，再利用切线性质得到∠PQO=90°，根据勾股定理得到PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-2}$，于是可判断OP最小时，PQ最小，S_△PQO的值最小，然后求出此时PQ的长，再计算S_△PQO的最小值．

解答 解：作OH⊥AB于H，连接OQ、OP，如图，
当x=0时，y=-x+6=6，则B（0，6），
当y=0时，-x+6=0，解得x=6，则A（6，0），
∵OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
∴OH=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{2}$，
∵PQ为切线，
∴PQ⊥OQ，
∴∠PQO=90°，
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-O{Q}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-2}$，
∵PQ最小时，S_△PQO的值最小，
∵OP最小时，PQ最小，
∴当OP⊥AB，即P点运动到H点时，OP最小，S_△PQO的值最小，
此时PQ=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-2}$=4，
∴S_△PQO的最小值=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×4=2$\sqrt{2}$．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定OP垂直AB时S_△PQO的值最小．