Question

14．已知x₁，x₂是一元二次方程x²-5x-3=0的两个根，求：
（1）x₁²+x₂²
（2）$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式配方得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可；
（2）先通分计算，再整理得出含有两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

解答 解：∵x₁，x₂是一元二次方程x²-5x-3=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=-3；
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-3）
=25+6
=31；

（2）∵（x₂-x₁）²=x₁²+x₂²-2x₁x₂
=31-2×（-3）
=37，
∴x₂-x₁=±$\sqrt{37}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=±$\frac{\sqrt{37}}{3}$．

点评 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．