Question

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜$\frac{8}{5}$）．

发现：
（1）BD=10；
（2）当t=$\frac{1}{2}$时，正方形PQMN的边长为$\frac{3}{2}$；
思考：如图2，连接DQ平分∠BDC时，t的值为1；
探究：如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值．

Answer 1

分析 发现：（1）利用勾股定理BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$即可解决问题．
（2）当t=$\frac{1}{2}$时，BP=2，由△PBQ∽△CBD，推出$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{CD}$，即可解决问题．
思考：如图1中，由DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，推出QP=QC由（1）可知，△PBQ∽△CBD，推出$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{DC}$=$\frac{BQ}{BD}$，列出方程即可解决问题．
探究：如图2中，令⊙O与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，可得$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：发现：（1）如图12-1，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案为10．

（2）如图1中，当t=$\frac{1}{2}$时，BP=2，
∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=∠C=90°，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{CD}$，即$\frac{2}{8}$=$\frac{PQ}{6}$，
∴PQ=$\frac{3}{2}$，即正方形PQMN的边长为$\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

思考：如图1中，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
由（1）可知，△PBQ∽△CBD，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{PQ}{DC}$=$\frac{BQ}{BD}$，
∴$\frac{4t}{8}$=$\frac{PQ}{6}$=$\frac{BQ}{10}$，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∴3t=8-5t，
∴t=1．
故答案为1．

探究：如图，令⊙O与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．

∵EC=$\frac{3}{4}$（8-5t），DO=3t，
∴OE=6-3t-$\frac{3}{4}$（8-5t）=$\frac{3}{4}$t，
∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，
∴$\frac{OH}{BC}$=$\frac{OE}{BD}$，
∴$\frac{0.8}{8}$=$\frac{\frac{3}{4}t}{10}$，
∴t=$\frac{4}{3}$，即当t=$\frac{4}{3}$s时，⊙O与直线QM相切．

点评 本题考查圆综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找相似三角形，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．