Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=$\sqrt{3}$，以BC为直径画半圆，交斜边AB于D，则图中阴影部分的面积为$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$．

Answer 1

分析 连接OD，过O作OH⊥BD于H，由BC为直径，得到∠BDC=90°，解直角三角形得到BD=$\frac{3}{2}$，AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=1，OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，根据图形的面积公式即可得到结论．

解答 解：连接OD，过O作OH⊥BD于H，
∵BC为直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠B=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴∠DOC=60°，BD=$\frac{3}{2}$，
∵∠ACB=90°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC=1，
∵∠OHB=90°，
∴OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴阴影部分的面积=S_△ACB-S_△BDC-S_扇形ODC=$\frac{1}{2}×$1×$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$-$\frac{60π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}{360}$=$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$，
故答案为：$\frac{5\sqrt{3}}{16}$-$\frac{π}{8}$．

点评 本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．