Question

4．本市新建一座圆形人工湖，为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A，B，C三根木柱，使得A，B之间的距离与A，C之间的距离相等，并测得BC长为120米，A到BC的距离为4米，如图所示．
（1）请你帮他们求出该湖的半径；
（2）如果在圆周上再另取一点P，建造一座连接B，C，P三点的三角形艺术桥，且△BCP为直角三角形，问：这样的P点可以有几处？如何找到？

Answer 1

分析 （1）设圆心为点O，连接OB，OA，AB=AC，得出$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，再根据等弦对等弧，得出点A是弧BC的中点．结合垂径定理的推论，知OA垂直平分弦，设圆的半径，结合垂径定理和勾股定理列出关于半径的方程，即可求得圆的半径；
（2）根据垂直的定义即可得到结论．

解答 解：设圆心为点O，连接OB，OA，OA交线段BC于点D，
∵AB=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴OA⊥BC，
∴BD=DC=$\frac{1}{2}$BC=60
∵DA=4米，
在Rt△BDO中，OB²=OD²+BD²，
设OB=x米，
则x²=（x-4）²+60²，
解得x=452．
∴人工湖的半径为452米；
（2）这样的P点可以有2处，过点B或点C作BC的垂线交圆于一点，此点即为P点．

点评 此题考查了垂径定理的应用，用到的知识点是等弦对等弧、垂径定理的推论、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．