Question

17．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线PQ是过A点的任意一条直线，BD⊥PQ于D，CE⊥PQ于E．
（1）试说明：△ABD和△CAE全等．
（2）在图（1）的前提条件下，猜想BD、DE、CE三条线段之间的数量关系．（不写证明）
（3）将图（1）中的直线PQ绕点A逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与AB、AC重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用AAS判定△ABD≌△CAE；
（2）根据全等三角形的对应边相等可以求得BD=AE，AD=CE，所以AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE；
（3）因为DE=BD-CE或DE=CE-BD．

解答 （1）证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
在△ABD和△CAE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBA=∠EAC}\\{∠BDA=∠AEC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；

（2）解：BD=DE+CE．
理由：由（1）知，△ABD≌△CAE，则BD=AE，AD=CE
∴AE=AD+DE=CE+DE
∴BD=DE+CE；

（3）结论：DE=BD-CE或DE=CE-BD
证明：设PQ与BC的交点为M，当M离B点近时，结论为DE=CE-BD
当M为BC中点时，结论为DE=CE-BD
当M离C点近时，结论：DE=BD-CE．
同（1）可证明△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴DE=BD-CE．
同理：DE=CE-BD．

点评 本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．