Question

15．已知：点F在线段AB上，BF为⊙0的直径，点D在⊙O上，BC⊥AD于点C，BD平分∠ABC．
（1）求证：AC是⊙0的切线；
（2）若AD=4，AF=2，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD⊥AC即可；
（2）连接DF，通过证得△ADF∽△ABD，求得AB=8，BF=6，$\frac{DF}{DB}$=$\frac{1}{2}$，根据勾股定理求得DF，DB，然后证得△BDF∽△BCD，即可求出CD的长．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠DBC=∠ODB，
∴OD∥BC，
∴∠ODA=∠C，
∵BC⊥AD，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：连接DF，
∴AC是⊙0的切线，
∴AD²=AF•AB，
∵AD=4，AF=2，
∴AB=8，
∴BF=6，
∵△ADF∽△ABD，
∴$\frac{DF}{DB}$=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，
∴DB=2DF，
∵BF²=DB²+DF²，
∴6²=4DF²+DF²，
∴DF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴DB=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵BF为⊙0的直径，
∴∠BDF=90°，
∴∠BDF=∠C，
∵∠FBD=∠DBC，
∴△BDF∽△BCD，
∴$\frac{CD}{DF}$=$\frac{BD}{BF}$，即$\frac{CD}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{\frac{12\sqrt{5}}{5}}{6}$，
∴CD=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，圆周角定理，勾股定理的运用以及三角形相似的判定和性质，具有一定的综合性．