Question

3．两个同心圆中，过大圆上一点B作大圆的弦BF，BG都和小圆相切，切点分别是A，C，经过点A，C作大圆的弦DE．
（1）连接EF，求证：△ABE∽△EBF．
（2）求EF：AE．

Answer 1

分析 （1）连接OA，OC，FG，根据切线的性质得到OA⊥BF，OC⊥BG，AB=BC，求得AC∥FG，BF=BG，于是得到$\widehat{EF}=\widehat{DG}$，$\widehat{BF}$=$\widehat{BG}$，推出$\widehat{BE}=\widehat{BD}$，根据圆的性质得到∠BEA=∠BFE，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{BE}{BF}=\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{EF}$，求得$\frac{BE}{AB}=\sqrt{2}$，于是得到结论．

解答 解：（1）连接OA，OC，FG，
∵BF，BG都和小圆相切，切点分别是A，C，
∴OA⊥BF，OC⊥BG，AB=BC，
∴AB=AF，BC=CG，
∴AC∥FG，BF=BG，
∴$\widehat{EF}=\widehat{DG}$，$\widehat{BF}$=$\widehat{BG}$，
∴$\widehat{BE}=\widehat{BD}$，
∴∠BEA=∠BFE，
∵∠ABE=∠ABE，
∴△ABE∽△EBF；
（2）∵△ABE∽△EBF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{EF}$，
∴BE²=AB•BF=2AB²，
∴$\frac{BE}{AB}=\sqrt{2}$，
∴EF：AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．