Question

10．如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处（AE为折痕，点E在CD上），在AD上截取DG，使以DG=CF．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）求证：BD⊥GE．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABF=∠C=∠ADC=90°，由折叠的性质可得：∠AFE=∠ADC=90°，然后由等角的余角相等，证得∠BAF=∠CFE，即可判定△ABF∽△FCE；
（2）由△ABF∽△FCE，DG=CF，易证得$\frac{DG}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$，即可判定△DBA∽△EGD，继而可求得∠DGH+∠GDH=90°，则可得BD⊥GE．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABF=∠C=∠ADC=90°，
∴∠BAF+∠BFA=90°，
由折叠的性质可得：∠AFE=∠ADC=90°，
∴∠CFE+∠BFA=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
∴△ABF∽△FCE；

（2）∵DG=CF，DE=EF，
∴cos∠EFC=$\frac{FC}{EF}$=$\frac{DG}{DE}$，
∵cos∠BAF=$\frac{AB}{AF}$=$\frac{AB}{AD}$，∠BAF=∠EFC，
∴$\frac{DG}{DE}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{DE}{AD}$，
∵∠BAD=∠GDE=90°，
∴△DBA∽△EGD，
∴∠DBA=∠EGD，
∵∠DBA+∠ADB=90°，
∴∠DGH+∠GDH=90°，
∴∠GHD=90°，
∴BD⊥GE．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．