Question

5．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点P在直线AC上，若S_△PAO：S_△PCO=2：1，求P点坐标；
（3）如图②，若点C关于对称轴对称的点为D，点E的坐标为（-2，0），F是OC的中点，连接DF，Q为线段AD上的一点，若∠EQF=∠ADF，求线段EQ的长．

Answer 1

分析 （1）把B（1.0）、C（0，3）两点代入y=-x²+bx+c即可解决．
（2）如图①中，作PM⊥AB垂直为M，由PM∥CO，得$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{2}{1}$求出AM，即可解决问题．
（3）如图②中，连接CD，延长DF交x轴于H，先证明HD=HA，再证明△QAE∽△FDQ，得$\frac{QA}{DF}$=$\frac{AE}{DQ}$，设AQ=m，则DQ=AD-AQ=$\sqrt{10}$-m，列出方程即可解决．

解答 解：（1）把B（1.0）、C（0，3）两点代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{-1+b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=-x²-2x+3．
（2）如图①中，作PM⊥AB垂直为M，
令y=0，则-x²-2x+3=0，解得x=-3或1，
∴点A（-3，0），点B（1，0），点C（0，3），
设直线AC为y=kx+b，把A、C两点坐标代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-3k+b=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AC为y=x+3，设点P（m，m+3），
∵若S_△PAO：S_△PCO=2：1，
∴PA：Pc=2：1，
∵PM∥CO，
∴$\frac{PA}{PC}$=$\frac{AM}{MO}$=$\frac{2}{1}$，
∴AM=2，MO=1，
∴m=-1，
∴点P坐标为（-1，2）．
（3）如图②中，连接CD，延长DF交x轴于H．
∵DC∥OH，
∴∠CDF=∠OHF，
在△CDF和△OHF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDF=∠OHF}\\{∠DFC=∠OFH}\\{FC=OF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△OHF，
∴DC=OH，
∵点C（0，3），点D（-2，3），
∴点H（2，0），DH=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵AH=5，
∴HD=HA，
∴∠HDA=∠HAD，
∵∠AQF=∠ADF+∠DFQ=∠AQE+∠EQF，∠EQF=∠ADF，
∴∠AQE=∠DFQ，∵∠QAE=∠QDF，
∴△QAE∽△FDQ，
∴$\frac{QA}{DF}$=$\frac{AE}{DQ}$，设AQ=m，则DQ=AD-AQ=$\sqrt{10}$-m，
∴$\frac{1}{\sqrt{10}-m}$=$\frac{m}{\frac{5}{2}}$，
∴m=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵AD=$\sqrt{10}$，AQ=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴AQ=QD，
∴点Q坐标（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3}{2}$），∵点E（-2，0），
∴QE=$\sqrt{（-\frac{5}{2}+2）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查二次函数、一次函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会把问题转化为方程，属于中考压轴题．