题目内容

5．如图，已知点A为（-4，4），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象交AC的中点于点D，交AB于点E，连OD、CE交于点F，CE的延长线交x轴于点G．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）求证：CG⊥OD；
（3）求△OFG的面积；
（4）求经过G、B、F三点的抛物线的解析式，在此抛物线上是否存在点P，使S△BGP=$\frac{32}{5}$？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）根据正方形的性质，可得D点坐标，根据待定系数法，可得k的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得∠1=∠2，根据余角的性质，可得∠2+∠3=90°，根据垂线的定义，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得CG、OD的解析式，根据解方程组，可得F点的坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得G点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（4）根据待定系数法，可得函数解析式，根据三角形的面积公式，可得F点，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得P点．

解答 （1）解：由已知，得四边形ABCD是正方形，
∴D为AC的中点，
∴点D（-2，4），
∴k=xy=-2×4=-8，当x=-4时，y=-$\frac{8}{x}$=2，点E（-4，2）；
（2）证明：如图，
，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=AC，∠A=∠DOC=90°，
∵A为（-4，4），E（-4，2），
∴E为AB的中点．
∵D为AC的中点，
∴CD=AE，
∴Rt△EAC≌R△DCO，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴CG⊥OD；
（3）解：设直线OD为y=k1x，得-2k1=4，即k1=-2，y=-2x；
设直线CG的解析式为y=k2x+4，得-4k2+4=2，即k2=$\frac{1}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{5}}\\{y=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，即F点坐标为（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
当y=0时，$\frac{1}{2}$x+4=0，即x=-8，即G点坐标为（-8，0）
∴S△OFG=$\frac{1}{2}$OG•yF$\frac{1}{2}$×8×$\frac{16}{5}$=$\frac{64}{5}$；
（4）解：设过点G（-8，0）、B（-4，0）、F（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$）的抛物线为y=ax2+bx+c（a≠0），
得$\left\{\begin{array}{l}{64a-8b+c=0}\\{16a-4b+c=0}\\{\frac{64}{25}a-\frac{8}{5}b+c=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{24}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
则y=$\frac{5}{24}$x2+$\frac{5}{2}$x+$\frac{20}{3}$
当$\frac{b}{2a}$=-6时，y最小=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-$\frac{5}{6}$，
∴抛物线的顶点坐标为（-6，-$\frac{5}{6}$）．
∴S△BGP=$\frac{1}{2}$•BG•yF=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{16}{5}$=$\frac{32}{5}$．
∴点F是满足条件的一点，△BGP的高是$\frac{16}{5}$，
∴在x轴上方的抛物线上还存在一个点与F关于直线x=-6对称的点P（-$\frac{52}{5}$，$\frac{16}{5}$）．
∵$\frac{5}{6}$＜$\frac{16}{5}$，
∴在x轴下方的抛物线上不存在满足条件的点．
故存在两个点：P1（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），P（-$\frac{52}{5}$，$\frac{16}{5}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用全等三角形的判定与性质得出∠1=∠2是解题关键；利用解方程组得出G点坐标是解题关键；利用函数的对称性得出P与F点是对称点是解题关键．

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