Question

16．如图，AB为⊙O的直径，CA为⊙O的切线，CB交⊙O于D，$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，AE交BD于F，若DF=BF，则tan∠BDE的值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 连接AD，BE，根据圆的性质得到∠DBE=∠DEF，AD=DE，推出△BDE∽△EDF，根据相似三角形的性质得到DE²=BD•DF，求得$\frac{DE}{DF}$=$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{2}$EF，根据勾股定理得到AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$DF，根据相交弦定理得到AF•EF=BF•DF，求得EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DF，根据圆周角定理得到∠BAE=∠BDE，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：连接AD，BE，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$，
∴∠DBE=∠DEF，AD=DE，
∵∠FDE=∠BDE，
∴△BDE∽△EDF，
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{DF}{DE}$，
∴DE²=BD•DF，
∵DF=BF，
∴DE=AD=$\sqrt{2}$DF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\sqrt{2}$，
∵△BDE∽△EDF，
∴$\frac{BE}{EF}=\frac{DE}{DF}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$EF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{3}$DF，
∵AE交BD于F，
∴AF•EF=BF•DF，
∴$\sqrt{3}$DF•EF=DF²，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DF，
∴BE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$DF，AE=AF+EF=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠BAE=∠BDE，
∴tan∠BDE=tan∠BAE=$\frac{BE}{AE}$═$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}DF}{\frac{4\sqrt{3}}{3}DF}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．