如图.平面直角坐标系xOy中.点O为坐标原点.四边形OABC为矩形.A.点D是OA的中点.点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．(1)当四边形PODB是平行四边形时.求t的值,(2)在线段PB上是否存在一点Q.使得四边形ODQP为菱形?若存在.求处当四边形ODQP为菱形时t的值.并求出Q点的坐标,若不存在.请说明理由,(3)△OPD为等腰三角形时.写出点P的坐标(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

如图，平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．
（1）当四边形PODB是平行四边形时，求t的值；
（2）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求处当四边形ODQP为菱形时t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）．

分析（1）根据平行四边形的性质就可以知道PB=5，可以求出PC=5，从而可以求出t的值．
（2）要使ODQP为菱形，可以得出PO=5，由三角形的勾股定理就可以求出CP的值而求出t的值．
（3）当P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5时分别作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐标．

解答解：（1）∵四边形PODB是平行四边形，
∴PB=OD=5，
∴PC=5，
∴t=5．
（2）∵ODQP为菱形，
∴OD=OP=PQ=5，
∴在Rt△OPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{P{O}^{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}=3$，
∴t=3，
CQ=PC+PQ=3+5=8，
∴点Q的坐标为（8，4）．
（3）当P₁O=OD=5时，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D时，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
当P₃D=OD=5时，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
当P₄D=OD=5时，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）．