92. 已知：平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于点M、N；线段AD分别交α、β于点C、D；线段BF分别交α、β于点F、E，且AM=m,BN=n,MN=p，△FMC面积=(m+p)(n+p),求：END的面积.
解析：如图，面AND分别交α、β于MC，ND，因为α∥β，
故MC∥ND，同理MF∥NE，得
∠FMC＝∠END，
∴ND∶MC＝(m+p)：m和EN∶FM＝n∶(n+p)
S△END∶S△FMC＝
得S△END＝×S△FMC
＝·(m+p)(n+p)=(m+p)2
∴△END的面积为(m+p)2平方单位.
91. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
∵AD∥BC
∴△AFD∽△MFB
∴
又∵BD＝B1A，B1E＝BF
∴DF＝AE
∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C
∴EF∥平面BB1C1C.
证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE
∴FH∥BC，BCBB1C1C
∴FH∥平面BB1C1C
由FH∥AD可得
又BF＝B1E，BD＝AB1
∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C
∴EH∥平面BB1C1C，
EH∩FH＝H
∴平面FHE∥平面BB1C1C
EF平面FHE
∴EF∥平面BB1C1C
说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行，先证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.
90. 三个平面两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.
已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.
求证：a、b、c相交于同一点，或a∥b∥c.
证明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b
∴a、bβ
∴a、b相交或a∥b.
(1)a、b相交时，不妨设a∩b＝P，即P∈a，P∈b
而a、bβ，aα
∴P∈β，P∈α，故P为α和β的公共点
又∵α∩γ＝c
由公理2知P∈c
∴a、b、c都经过点P，即a、b、c三线共点.
(2)当a∥b时
∵α∩γ＝c且aα，aγ
∴a∥c且a∥b
∴a∥b∥c
故a、b、c两两平行.
由此可知a、b、c相交于一点或两两平行.
说明：此结论常常作为定理使用，在判断问题中经常被使用.
89. 已知平面、、、．其中∩=l，∩=a，∩=，a∥，∩=b，∩=，b∥
上述条件能否保证有∥？若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有∥．
不足以保证∥．
如右图．
如果添加条件a与b是相交直线，那么∥．
证明如下：
a∥a∥
b∥b∥
∵ a，b是内两条相交直线，
∴ ∥．
88. 已知：直线a∥平面．求证：经过a和平面平行的平面有且仅有一个．
证：过a作平面与交于，在内作直线与相交，在a上任取一点P，在和P确定的平面内，过P作b∥．b在外，在内，
∴ b∥
而a∥
∴ a，b确定的平面过a且平行于．
∵ 过a，b的平面只有一个，
∴ 过a平行于平面的平面也只有一个
87. 已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为8，对角线B1C=10，D为AC的中点．
(1) 求证AB1∥平面C1BD；
(2) 求直线AB1到平面C1BD的距离．
证明：(1) 设B1C∩BC1=O．
连DO，则O是B1C的中点．
在△ACB1中，D是AC中点，O是B1C中点．
∴ DO∥AB1，
又DO平面C1BD，AB1平面C1BD，
∴ AB1∥平面C1BD．
解：(2) 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，D是AC中点，
∴ BD⊥AC，且BD⊥CC1，
∴ BD⊥平面AC1，
平面C1BD⊥平面AC1，C1D是交线．
在平面AC1内作AH⊥C1D，垂足是H，
∴ AH⊥平面C1BD，
又AB1∥平面C1BD，故AH的长是直线AB1到平面C1BD的距离．
由BC=8，B1C=10，得CC1=6，
在Rt△C1DC中，DC=4，CC1=6，
在Rt△DAH中，∠ADH=∠C1DC
∴ ．
即AB1到平面C1BD的距离是．
评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的DO．本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用AB1∥平面C1BD，把求直线到平面的距离变换为求点A到平面的距离．
86. 已知：正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为a．
(1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2) 求平面A1BD和平面B1D1C的距离．
证明：(1) 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵ BB1平行且等于DD1，
∴ 四边形BB1D1D是平行四边形，
∴ BD∥B1D1，
∴ BD∥平面B1D1C．
同理 A1B∥平面B1D1C，
又A1B∩BD=B，
∴ 平面A1BD∥平面B1D1C
解：(2) 连AC1交平面A1BD于M，交平面B1D1C于N．
AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，
∴ AC1⊥BD，
同理可证，AC1⊥A1B，
∴ AC1⊥平面A1BD，即MN⊥平面A1BD，
同理可证MN⊥平面B1D1C．
∴ MN的长是平面A1BD到平面B1D1C的距离，
设AC、BD交于E，则平面A1BD与平面A1C交于直线A1E．
∵ M∈平面A1BD，M∈AC1平面A1C，
∴ M∈A1E．
同理N∈CF．
在矩形AA1C1C中，见图9－21(2)，由平面几何知识得
，
评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系．证明面面平行，主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法．
85. 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
(A) 垂直
(B) 平行
(C) 相交但不垂直
(D) 要依P点的位置而定
解析：由题设知B1M∥AN且B1M=AN，
四边形ANB1M是平行四边形，
故B1N∥AM，B1N∥AMC1平面．
又C1M∥CN，得CN∥平面AMC1，则平面B1NC∥AMC1，NP平面B1NC，
∴ NP∥平面AMC1．
答案选B．
84. 已知a、b、c是三条不重合的直线，α、β、r是三个不重合的平面，下面六个命题：
①a∥c，b∥ca∥b；
②a∥r，b∥ra∥b；
③α∥c，β∥cα∥β；
④α∥r，β∥rα∥β；
⑤a∥c，α∥ca∥α；
⑥a∥r，α∥ra∥α．
其中正确的命题是 ( )
(A) ①④ (B) ①④⑤
(C) ①②③ (D) ①⑤⑥
解析：由公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”可知命题①正确；若两条不重合的直线同平行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题②错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题③错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题④正确；若一条直线和一个平面分别平行于同一条直线或同一个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题⑤、⑥都是错的，答案选A．
83. 已知：a、b是异面直线，a平面a，b平面b，a∥b，b∥a．
求证：a∥b．
证法1：在a上任取点P，
显然P∈b．
于是b和点P确定平面g．
且g 与a 有公共点P
∴ a ∩g＝b′
且b′和a交于P，
∵ b∥a ，
∴ b∥b′
∴ b′∥b
而a∥b
这样a 内相交直线a和b′都平行于b
∴ a∥b．
证法2：设AB是a、b的公垂线段，
过AB和b作平面g ，
g ∩＝b′，
过AB和a作平面d ，
∩b＝a′．
a∥a∥a′
b∥b∥b′
∴AB⊥aAB⊥a′，AB⊥bAB⊥b′
于是AB⊥a 且AB⊥b，∴ a∥b．
S△END∶S△FMC＝
×S△FMC
·(m+p)(n+p)=
(m+p)2
证法一：连AF延长交BC于M，连结B1M.
平面BB1C1C
γ
、
、
、
．其中
，a∥
，b∥
如右图．
a∥
(1) 求证AB1∥平面C1BD；
．
．
(1) 求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
AC是AC1在平面AC上的射影，又AC⊥BD，
，
．
已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC，M、N分别是A1B1，AB的中点，P点在线段B1C上，则NP与平面AMC1的位置关系是 ( )
求证：a∥b．
显然P∈b．
于是b和点P确定平面g．
证法2：设AB是a、b的公垂线段，
＝b′，
∩b＝a′．