423.　 两面都是凸形的镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm和17cm，两球心间的距离为21cm，求此镜面的表面积和体积.

解析：轴截面如图，设O₂C＝x，则CO₁＝21-x,∵AB⊥O₁O₂　 ∴AO₂²-O₂C²＝AO₁²-CO₁²，即10²-x²＝17²-(21-x)²，解得x＝6,CO₁＝15,又设左边球缺的高为h₁,右边的球缺高为h₂，则h₁＝17-15＝2,h₂＝10-6＝4,∴S_表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)²,V＝π［2²(3·10-2)+4²(3·17-4)］＝288π(cm³).

422. 一个圆在平面上的射影图形是(　　 )

A.圆　　　　　　　　　　　　 B.椭圆

C.线段　　　　　　　　　　　 D.圆或椭圆或线段

解析：D

421.　 地球半径为R，在北纬45°圈上有A、B两点，它们的经度差为，求球面上A、B两点间球面距离.

解析：本题关键是求出∠AOB的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图2，以O₁O，O₁A，O₁B为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO内求∠BOA的问题.

解：　 如图2，∵∠O₁OA＝＝∠O₁OB，OA＝OB＝R，∴OO₁＝O₁A＝O₁B＝R　 ∴AB²＝O₁A²+O₁B²＝R，　 ∴ΔAOB为等边Δ，　 ∴∠AOB＝，A、B间的球面距离为R.

420.　 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.

解析： 如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O₁O₂O₃平面的垂线，垂足为H，它一定是ΔO₁O₂O₃的中心，连接O₁H，O₁O，在RtΔO₁OH中，O₁H＝，OH＝1-r,OO₁＝1+r,∴OO₁²＝O₁H²+OH²，即(1+r)²＝()²+(1-r)²，解得r＝.

419. 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是(　　 )

A.4　　　　　　 B.3　　　　　　 C.2　　　　　　 D.5

解析： 如图，设球的半径是r，则πBD²＝5π，πAC²＝8π，

∴BD²＝5，AC²＝8.又AB＝1，设OA＝x.

∴x²+8＝r²,(x+1)²+5＝r².

解之，得r＝3

故选B.

418.　 已知四点，无三点共线，则可以确定(　　 )

A.1个平面　　　　　　　 B.4个平面

C.1个或4个平面　　　　 D.无法确定

解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

417.　 下列命题正确的是(　　 )

A.经过两条直线有且只有一个平面

B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面

D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

解析：根据公理2、公理3知选D.

416.　 空间可以确定一个平面的条件是(　　 )

A.两条直线　　　　　　　 B.一点和一直线

C.一个三角形　　　　　　 D.三个点

解析： 由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.

415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.

解答：已知：Aa，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面.

证明：∵Aa，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，aα.

∴B、C、D∈α

又A∈α.

∴AB、AC、ADα.

即AB、AC、AD共面.

414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?

解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.