∴函数f′(x)=3x2+2mx+(m+6)的图象与x轴相交,即4m2-4×3×(m+6)>0.
7.★已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-∞,-3)∪(6,+∞)
C.(-3,6) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
分析 本题考查导数与极值的关系.
解 f′(x)=3x2+2mx+(m+6).
∵函数f(x)既存在极大值又存在极小值,
fn+4(x)=f(x),可知该函数的周期为4.
∴f2006(x)=f2(x)=-cosx.
答案 D
6.★设f0(x)=cosx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,则f2006(x)等于( )
A.sinx B.cosx C.-sinx D.-cosx
分析 本题考查导数的运算及函数的周期性.
解 f1(x)=(cosx)′=-sinx,
f2(x)=(-sinx)′=-cosx,
f3(x)=(-cosx)′=sinx,
f4(x)=(sinx)′=cosx,
f4(x)=f0(x),f5(x)=f1(x),…,
∴y′|x=1=2,切线的方程为y-2=2(x-1),与x轴的交点(0,0)所围成的三角形的面积S=(3-0)×6=9.
答案 C
5.★曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线与x轴、直线x=3所围成的三角形的面积为( )
A.13 B.14 C.9 D.10
分析 本题考查导数的相关知识及三角形的面积公式.
解 ∵y=x2+1,∴y′=2x.
∴y1′|x=1=2,y2′|x=1=3,y3′|x=1=2cos1.
∴k3<k1<k2.
4.已知曲线y1=x2,y2=x3,y3=2sinx,这三条曲线与x=1的交点分别为A、B、C,又设k1、k2、k3分别为经过A、B、C且分别与这三条曲线相切的直线的斜率,则( )
A.k1<k2<k3 B.k3<k2<k1
C.k1<k3<k2 D.k3<k1<k2
分析 本题主要考查导数的几何意义及导数的运算法则.
解 ∵y1′=2x,y2′=3x2,y3′=2cosx,
得x=±.
所以符合条件的切线有2条.
答案 B
3.已知f(x)=x3的切线的斜率等于1,则这样的切线有( )
A.1条 B.2条
C.多于2条 D.不能确定
分析 本题主要考查导数的几何意义的应用.切线的条数是由切点的个数确定的.
解 f′(x)=3x2,由f′(x)=3x2=1,
(3-0)×6=9.
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