1．平面向量是教材新增内容之一，其数形结合的特点使得它成为高中数学教学中继函数之后的第二条主线．向量是数学中重要概念之一．向量为解决数学、物理中的问题提供了新的工具.

8．(人教A版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A组第8题)

斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，且，求直线的方程．

变式1(2002年上海卷)：已知点和，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线交于D、E两点，求线段DE的长．

解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为．

联立得．

设，，则．

所以．

故线段DE的长为．

变式2：直线与椭圆交于不同两点A和B，且(其中O为坐标原点)，求k的值．

解：将代入，得．

由直线与椭圆交于不同的两点，得

即．

设，则．

由，得．

而

．

于是．解得．故k的值为．

变式3：已知抛物线．过动点M(，0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B．若,求a的取值范围．

解：直线的方程为，

将　　 ，

得　　 ．

设直线与抛物线的两个不同交点的坐标为、，

则 　　　　

又，

∴　　

　　　　　　 ．

∵　　 ，

∴　　 ．

解得．

7．(人教A版选修2－1第67页例5)

　　 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

变式(2001年全国卷)：设抛物线()的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥X轴．证明直线AC经过原点O．

证明1：因为抛物线()的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为

　 　，代人抛物线方程得

　　　　 ．

　　 若记，，则是该方程的两个根，所以

．

因为BC∥X轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，

故直线CO的斜率为

即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．

证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，

过A作AD⊥L，D是垂足．则

　　 AD∥FE∥BC．

连结AC，与EF相交于点N，则

根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|　　　 ，

　　 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．

6．(人教A版选修1－1，2－1第66页例4)

　　 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

变式1：如果，，…，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，，…，，F是抛物线的焦点，若，则___．

解：根据抛物线的定义，可知(，2，……，8)，

∴．

变式2(2004年湖南卷理)：设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点使，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 　　　　．

　　 解：设，则，于是，即，由于，，故，又，故．

变式3(2006年重庆卷文)：如图，对每个正整数，是抛物线上的点，过焦点的直线交抛物线于另一点．

(Ⅰ)试证：；

(Ⅱ)取，并记为抛物线上分别以与为切点的两条切线的交点．试证：．

证明：(Ⅰ)对任意固定的,因为焦点,所以可设直线的方程为,将它与抛物线方程联立，

得，由一元二次方程根与系数的关系得．

(Ⅱ)对任意固定的，利用导数知识易得抛物线在处的切线的斜率，故在处的切线方程为，　　 　　　①

　　 类似地，可求得在处的切线方程为，　　 ②

　　 由②减去①得，

从而，　 ，，　 ③

将③代入①并注意到得交点的坐标为.

由两点间距离公式,得

=.从而.

现在，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，

…

…

=.

5．(人教A版选修1－1，2－1第59页习题2.2B组第1题)

　　 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．

变式1(2002年北京卷文)：已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是

A．　　 B．　　　 C．　　　 D．

　　 解：依题意，有，即，即双曲线方程为，故双曲线的渐近线方程是，即，选D．

变式2(2004年全国卷Ⅳ理)：已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为(　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

　　 解：∵抛物线的焦点坐标为(－1，0)，则椭圆的，又，则，进而，所以椭圆方程为，选A．

4．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题)

　　 如图，矩形ABCD中，，，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．请证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N在同一个椭圆上．

变式1：直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数　　　　　 ．

解：将直线代入双曲线C的方程整理，得

　　　　　　　　　　 ……①

依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故

解得．

设A、B两点的坐标分别为、，则由①式得

　　　　　　　　　　　　　　 ……②

∵双曲线C的右焦点F 在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：

整理，得……③

把②式及代入③式化简，得

解得，故．

变式2(2002年广东卷)：A、B是双曲线上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(Ⅰ)求直线AB的方程；

(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？ 　 　解：(Ⅰ)直线AB的方程为．(求解过程略)

(Ⅱ)联立方程组得、．

由CD垂直平分AB，得CD方程为．

代入双曲线方程整理，得．

记，以及CD的中点为，

则有从而．

∵．

∴．

又．

即A、B、C、D四点到点M的距离相等．

故A、B、C、D四点共圆．

变式3(2005年湖北卷)：设A、B是椭圆上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

　 (Ⅰ)确定的取值范围，并求直线AB的方程；

(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.

(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为整理，得　 ①

设①的两个不同的根，

　 　②

是线段AB的中点，得

解得＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是(12，+).

于是，直线AB的方程为

解法2：设

依题意，

(Ⅱ)解法1：代入椭圆方程，整理得

　 　　　　　　　　　　　③

③的两根，

于是由弦长公式可得　 　④

将直线AB的方程 　⑤

同理可得　 ⑥

假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为　 ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故当时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，为半径的圆上.

(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：

A、B、C、D共圆△ACD为直角三角形，A为直角

　 ⑧

由⑥式知，⑧式左边＝

由④和⑦知，⑧式右边＝

∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆

解法2：由(Ⅱ)解法1及.

代入椭圆方程，整理得

　③　　　 解得.

将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得

　 ⑤　　 解得.

不妨设

∴

计算可得，∴A在以CD为直径的圆上.

又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.

(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)

3．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1A组第6题)

已知点P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．

变式1(2004年湖北卷理)：已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P在椭圆上，若P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为　　　　　　　　　　　　　

　　　 A．　　 　　　　 B．3　　　 　　　　 C．　　　 　　　　 D．

解：依题意，可知当以F₁或F₂为三角形的直角顶点时，点P的坐标为，则点P到x轴的距离为，故选D．(可以证明不存在以点P为直角顶点的三角形)

变式2(2006年全国卷Ⅱ)：已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是

　　　 A．　　B．6　　 　　C．　　　　 D．12

解：由于椭圆的长半轴长，而根据椭圆的定义可知的周长为，故选C．

2．(人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题)

已知经过椭圆的右焦点作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，是椭圆的左焦点．

(1)求的周长；

(2)如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？

变式1(2005年全国卷Ⅲ)：设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

A．　　　　　　 B．　　　　 C．　 D．

解一：设椭圆方程为，依题意，显然有，则，即，即，解得．选D．

解二：∵△F₁PF₂为等腰直角三角形，∴.

∵，∴，∴．故选D．

变式2：已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为　　　　　 ．

解一：由定义知，又已知，解得，，在中，由余弦定理，得，要求的最大值，即求的最小值，当时，解得．即的最大值为．

解二：设，由焦半径公式得，∵，∴，∴，∵，∴，∴的最大值为．

变式3(2005年全国卷Ⅰ)：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线．

(Ⅰ)求椭圆的离心率；

(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值．

解：(Ⅰ)设椭圆方程为，

则直线AB的方程为，代入，化简得

.

设A()，B)，则

由与共线，得

又，

即，所以，

故离心率

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，所以椭圆可化为

设，由已知得

　在椭圆上，

即①

由(Ⅰ)知

又，代入①得

故为定值，定值为1.

1．(人教A版选修1－1，2－1第39页例2)

如图，在圆上任取一点P，过点P作X轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

变式1：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为(8，0)．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则，．即，．

因为点P 在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式2：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为(8，0)，若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，

即，这就是动点M的轨迹方程．

变式3：设点P是曲线上的任一点，定点D的坐标为，若点M满足．当点P在曲线上运动时，求点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标为，点P的坐标为，由，得

，

即，．

因为点P在圆上，所以

．

即，这就是动点M的轨迹方程．

4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.