8. 建造一个容积为8m
，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设a>0，a≠1，试求方程log
(x－ak)＝log
(x
－a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)
[解] 将原方程化为：log(x－ak)＝log
， 等价于 
(a>0,a≠1)
∴ k＝
－
( ||>1 ),
设＝cscθ， θ∈(－
,0)∪(0, )，则 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|
当θ∈(－,0)时，f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg
<－1，故k<－1；
当θ∈(0,)时，f(θ)＝…
综上，k的取值范围是…
[注] 引入新的变量，而用函数值域加以分析，此法可解有关不等式、方程、最值、参数范围之类问题。(分离参数法、三角换元法、等价转化思想)
[另解] (数形结合法)：
[再解] (方程讨论法)：
例2. 设不等式2x－1>m(x－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。
[分析] 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，记f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件。
[解] 设f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 则 
解得x∈(
,
)
[注] 本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。
在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化。
例3. 设等差数列{a
}的前n项的和为S，已知a
＝12，S
>0，S
<0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S
、S
、…、S中哪一个值最大，并说明理由。(92年全国高考)
[分析] ①问用a、S易求；②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值。
[解]
[注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题。
[另解②问](寻求a>0、a
<0 )：
例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线PB和AC的距离。
[分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
        P
M
A
H B
D C |
[解] 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H，
设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。
∴MD＝x+[(2r－x)sinθ]＝(sin+1)x－4rsinθx+4rsinθ
＝(sinθ+1)[x－
]+
即当x＝时，MD取最小值
为两异面直线的距离。
[注] 求最大值、最小值的实际问题，将文字说明转化成数学语言后，建立数学模型和函数关系式，利用函数性质、重要不等式和有关知识解答。(见再现性题组第8题)
例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tgA·tgC＝2+
，又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
[解] 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°；
由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC，得tgA+tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝(1+)
设tgA、tgC是方程x－(+3)x+2+＝0的两根，解得x＝1，x＝2+
设A<C，则tgA＝1，tgC＝2+， ∴A＝
，C＝
…
例6. 若(z－x) －4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。
[分析] 题设正好是判别式b－4ac＝0的形式，因此构造一个一元二次方程求解。
[证明] 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列；
当x≠y时，设方程(x－y)t－(z－x)t+(y－z)＝0，由△＝0得t＝t，并易知t＝1是方程的根。
∴t·t＝
＝1 ， 即2y＝x+z ， ∴x、y、z成等差数列
[注] 题设条件具备或经变形整理后具备x+x＝a、x·x＝b的形式，则利用根与系数的关系构造方程；具备b－4ac≥0或b－4ac≤0的形式，可利用根的判别式构造一元二次方程。
例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤
。
[证明] 设k＝cosA·cosB·cosC＝
[cos(A+B)+cos(A－B)]·cosC＝[－cosC+cos(A－B)]cosC
整理得：cosC－cos(A－B)·cosC+2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程。
∴ △＝cos(A－B)－8k≥0 即 8k≤cos(A－B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤
[注]既是方程思想，也属判别式法。还可用放缩法：cosA·cosB·cosC＝… ＝
－cosC+cos(A－B)·cosC＝－[cosC－
]+cos(A－B)≤cos(A－B) ≤
例8. 设f(x)＝lg
，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
[解] 由题可知，不等式1+2
+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，即：()
+()+a>0
设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t+t+a，其对称轴为t＝－
∴ t+t+a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()++a>0，得a>－
[注] 二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者是紧密联系的。也可用分离参数法：
Ⅲ、巩固性题组：
＝S
(p≠q，p、q∈N)，则S
＝_________。
，θ∈(
B. －
－2(m+1)x－1的图像与x轴只有一个公共点，求参数m的值及交点坐标。