摘要： 建造一个容积为8m.深为2m的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元.则水池的最低造价为 . Ⅱ.示范性题组: 例1. 设a>0.a≠1.试求方程log＝log(x-a)有实数解的k的范围. [解] 将原方程化为:log＝log. 等价于 ∴ k＝- ( ||>1 ), 设＝cscθ. θ∈(-,0)∪(0, ).则 k＝f(θ)＝cscθ-|ctgθ| 当θ∈(-,0)时.f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<-1.故k<-1, 当θ∈(0,)时.f(θ)＝- 综上.k的取值范围是- [注] 引入新的变量.而用函数值域加以分析.此法可解有关不等式.方程.最值.参数范围之类问题.(分离参数法.三角换元法.等价转化思想) [另解] : [再解] : 例2. 设不等式2x-1>m(x-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立.求x的取值范围. [分析] 此问题由于常见的思维定势.易把它看成关于x的不等式讨论.然而.若变换一个角度以m为变量.记f(m)＝(x-1)m-.则问题转化为求一次函数的值在[-2,2]内恒负时参数x应满足的条件. [解] 设f(m)＝(x-1)m-, 则 解得x∈(,) [注] 本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]时求m的值.关于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围. 在一个含有多个变量的数学问题中.确定合适的变量和参数.从而揭示函数关系.使问题更明朗化. 例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S.已知a＝12.S>0.S<0 . ①.求公差d的取值范围, ②.指出S.S.-.S中哪一个值最大.并说明理由. [分析] ①问用a.S易求,②问利用S是n的二次函数而求什么时候取最大值. [解] [注] 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数.因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题. [另解②问](寻求a>0.a<0 ): 例4. 如图.AB是圆O的直径.PA垂直于圆O所在平面.C是圆周上任一点.设∠BAC＝θ.PA＝AB=2r.求异面直线PB和AC的距离. [分析] 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值.从而设定变量.建立目标函数而求函数最小值. P M A H B D C [解] 在PB上任取一点M.作MD⊥AC于D.MH⊥AB于H. 设MH＝x.则MH⊥平面ABC.AC⊥HD . ∴MD＝x+[sinθ]＝(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ ＝(sinθ+1)[x-]+ 即当x＝时.MD取最小值为两异面直线的距离. [注] 求最大值.最小值的实际问题.将文字说明转化成数学语言后.建立数学模型和函数关系式.利用函数性质.重要不等式和有关知识解答. 例5. 已知△ABC三内角A.B.C的大小成等差数列.且tgA·tgC＝2+.又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a.b.c及三内角. [解] 由A.B.C成等差数列.可得B＝60°, 由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC.得tgA+tgC＝tgB＝(1+) 设tgA.tgC是方程x-(+3)x+2+＝0的两根.解得x＝1.x＝2+ 设A<C.则tgA＝1.tgC＝2+. ∴A＝.C＝ - 例6. 若(z-x) -4＝0,求证:x.y.z成等差数列. [分析] 题设正好是判别式b-4ac＝0的形式.因此构造一个一元二次方程求解. [证明] 当x＝y时.可得x＝z. ∴x.y.z成等差数列, 当x≠y时.设方程(x-y)t-＝0.由△＝0得t＝t.并易知t＝1是方程的根. ∴t·t＝＝1 . 即2y＝x+z . ∴x.y.z成等差数列 [注] 题设条件具备或经变形整理后具备x+x＝a.x·x＝b的形式.则利用根与系数的关系构造方程,具备b-4ac≥0或b-4ac≤0的形式.可利用根的判别式构造一元二次方程. 例7. △ABC中.求证:cosA·cosB·cosC≤ . [证明] 设k＝cosA·cosB·cosC＝[cos]·cosC＝[-cosC+cos(A-B)]cosC 整理得:cosC-cos(A-B)·cosC+2k＝0.即看作关于cosC的一元二次方程. ∴ △＝cos(A-B)-8k≥0 即 8k≤cos(A-B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤ [注]既是方程思想.也属判别式法.还可用放缩法:cosA·cosB·cosC＝- ＝ -cosC+cos(A-B)·cosC＝-[cosC-]+cos(A-B)≤cos(A-B) ≤ 例8. 设f(x)＝lg.如果当x∈有意义.求实数a的取值范围. [解] 由题可知.不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立.即:()+()+a>0 设t＝(), 则t≥. 又设g(t)＝t+t+a.其对称轴为t＝- ∴ t+t+a＝0在[,+∞)上无实根. 即 g()＝()++a>0.得a>- [注] 二次函数及图像.二次不等式.二次方程三者是紧密联系的.也可用分离参数法: Ⅲ.巩固性题组:

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