20、如图，在中，是的中点，以为直径的交的三边，交点分别是点．的交点为，且，．

(1)求证：．

(2)求的直径的长．

(3)若，以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，求直线的函数表达式．

答案：(1)连接DF

∵CD是圆直径　 ∴∠CFD=90°即DF⊥BC　　

∵∠ACB=90°∴DF ∥AC

∴∠BDF=∠A

∵在⊙O中∠BDF=∠GEF ∴∠GEF=∠A

(2) ∵D是Rt△ABC斜边AB的中点,

∴DC=DA

　∴∠DCA=∠A

又由(1)知∠GEF=∠A ∴∠DCA=∠GEF

又∵∠OME=∠EMC　 ∴△OME与△EMC相似

∴　 ∴

又∵= ∴==96　　

∵MD：CO=2:5　 ∴OM：MD=3：2　 ∴ OM：MC=3：8

设OM=3　 MC=8　 ∴　 ∴=2

直径CD=10x=20

(3) ∵Rt△ABC斜边AB的中线CD=20 ∴AB=40

　∵在Rt△ABC中,cos∠B=0.6=　 ∴BC=24　 ∴ AC=32

设直线AB的函数表达式为 根据题意得 A (32,0)　 B(0,24)

　　　 　　　　　　　　解得　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴直线AB的函数解析式为　　　　　　　　　　　　　　

19.(本题满分12分)

如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为(2，2)，∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.

(1)　　　 求的长；

(2)　　　 若的面积为(平方单位). 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？

(3)　　　 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求(2)中的值.

　　　 ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.

答案:

解：(1)∵∥

　　　　　　　　　 ∴

　　　　　　　 在中， ,

　　　　 ∴， 　

∴　 而

　　　　 ∴为等边三角形

　　　　　　 ∴…(3分)

(2)∵

∴　　　

∴

=　　 ()…………………………(6分)

即

∴当时，………………………………………(7分)

(3)①若为等腰三角形，则：

(i)若，　

　　 ∴∥

∴ 即

解得：

此时………………………………(8分)

(ii)若，

　　 ∴

过点作，垂足为，则有：

即

解得：

此时……………………………………(9分)

(iii)若，

∴∥

此时在上，不满足题意.……………………………………………(10分)

　　　 ②线段长的最大值为……………………………………………………(12分)

18、(2008上海)已知，，(如图)．是射线上的动点(点与点不重合)，是线段的中点．

(1)设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；

(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；

(3)联结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．

答案：解：(1)取中点，联结，

为的中点，，．

又，．

，得；

(2)由已知得．

以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，

，即．

解得，即线段的长为；

(3)由已知，以为顶点的三角形与相似，

又易证得．

由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．

①当时，，．．

，易得．得；

②当时，，．

．又，．

，即，得．

解得，(舍去)．即线段的长为2．

综上所述，所求线段的长为8或2．

17、(2008湖北荆州)如图，等腰直角三角形纸片ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90º，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A(1，0)，AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与EA所在直线重合，得到折痕EF(F在x轴上)，再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与△AEF重叠的面积为S.

　　 (1)求折痕EF的长；

(2)是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

　　 (3)直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.

答案：

∥BA 交Y轴于P，

16、(2008浙江金华) 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.

(1)求直线AB的解析式；

(2)当点P运动到点(，0)时，求此时DP的长及点D的坐标；

(3)是否存在点P，使ΔOPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案：解：(1)作BE⊥OA，

　∴ΔAOB是等边三角形

∴BE=OB·sin60^o=，

∴B(,2)

∵A(0,4),设AB的解析式为,所以,解得,的以直线AB的解析式为

(2)由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60^o,

∴ΔAPD是等边三角形，PD=PA=

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°

∴GD=BD=,DH=GH+GD=+=,

∴GB=BD=,OH=OE+HE=OE+BG=

∴D(,)

(3)设OP=x,则由(2)可得D()

若ΔOPD的面积为：

解得：

所以P(,0)

15、(2008江苏镇江)探索研究

如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．

(1)求证：点为线段的中点；

(2)求证：①四边形为平行四边形；

②平行四边形为菱形；

(3)除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．

答案：

(1)法一：由题可知．

，，

．

，即为的中点．

法二：，，．

又轴，．

(2)①由(1)可知，，

，，

．

，

又，四边形为平行四边形．

②设，轴，则，则．

过作轴，垂足为，在中，

．

平行四边形为菱形．

(3)设直线为，由，得，代入得：

　 直线为．

设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：

，，解得．得公共点为．

所以直线与抛物线只有一个公共点．

13、 (2008新疆建设兵团)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面

的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．

(1)在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．

(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？

答案：解：(1)设抛物线的表达式为

点在抛物线的图象上．

∴

∴抛物线的表达式为

(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为(k，t)

已知窗户高1.6m，∴

(舍去)

∴(m)

又设最多可安装n扇窗户

∴

．

答：最多可安装4扇窗户．

(本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形)

12、(2008山东东营、菏泽)在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点(不与A，B重合)，过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．　

(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S；　　　

(2)当x为何值时，⊙O与直线BC相切？　 　　　

(3)在动点M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

答案：解：(1)∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．

∴ △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．

∴ AN＝x．　

∴ =．(0＜＜4)　

(2)如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =MN．

在Rt△ABC中，BC ＝=5．

由(1)知 △AMN ∽ △ABC．

∴ ，即．　

∴ ，

∴ ．

过M点作MQ⊥BC 于Q，则．　

在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，

∴ △BMQ∽△BCA．

∴ ．

∴ ，．

∴ x＝．　

∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切．

(3)随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．

∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．

∴ △AMO ∽ △ABP．　

∴ ． AM＝MB＝2．　

故以下分两种情况讨论：

① 当0＜≤2时，． 　

∴ 当＝2时，

　② 当2＜＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．

∵ 四边形AMPN是矩形， 　

∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．

又∵ MN∥BC，

∴ 四边形MBFN是平行四边形．

∴ FN＝BM＝4－x．　

∴ ．

又△PEF ∽ △ACB．　

∴ ．

∴ ．

＝.

当2＜＜4时，．　　

∴ 当时，满足2＜＜4，．

综上所述，当时，值最大，最大值是2．

11、(2008广东中山)将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边

AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD．

(1)填空：如图1，AC=　　　　 ，BD=　　　　 ；四边形ABCD是　　　 梯形.

(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).

(3)如图2若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围.

答案：解：(1)，，等腰；

　(2)共有9对相似三角形.

①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似，分别是：△DCE∽△ABE，△DCE∽△ACD，△DCE∽△BDC，△ABE∽△ACD，△ABE∽△BDC；(有5对)

②△ABD∽△EAD，△ABD∽△EBC；(有2对)

③△BAC∽△EAD，△BAC∽△EBC；(有2对)

所以，一共有9对相似三角形.

(3)由题意知，FP∥AE，

　　 ∴ ∠1＝∠PFB，

又∵ ∠1＝∠2＝30°，

　 ∴ ∠PFB＝∠2＝30°,

∴ FP＝BP.

过点P作PK⊥FB于点K，则.

∵ AF＝t，AB＝8，

∴ FB＝8－t，.

在Rt△BPK中，.

∴ △FBP的面积，

∴ S与t之间的函数关系式为：

　，或.

t的取值范围为：.