5、猜想变化情况

随着数字或图形的变化,它原先的一些性质有的不会改变,有的则发生了变化,而且这种变化是有一定规律的。比如,在几何图形按特定要求变化后,只要本质不变,通常的规律是“位置关系不改变,乘除乘方不改变,减变加法加变减,正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5(山东青岛)四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察、乐于探索,我们还会发现更多的结论.

(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图7),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.

已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图7);

求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.

图7

 (2)在三角形中(如图8),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.

图8

分析:(1)分别过点A、C,做AE⊥DB,交DB的延长线于E,CF⊥BD于F,

则有:S△AOBBO·AE

  S△CODDO·CF

  S△AODDO·AE

  S△BOCBO·CF

∴S△AOB ·S△CODBO·DO·AE·CF

  S△AOD·S△BOC BO·DO·CF·AE

∴S△AOB ·S△COD =S△AOD·S△BOC.

(2)根据“乘除乘方不改变”能猜想到:从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点,与三角形的另外两个顶点连线,将三角形分成四个小三角形,其中相对的两对三角形的面积之积相等. 或S△AOD·S△BOC=S△AOB ·S△DOC 

已知:在△ABC中,D为AC上一点,O为BD上一点

求证:S△AOD·S△BOC=S△AOB ·S△DOC

证明:分别过点A、C,作AE⊥BD,交BD的延长线于E,作CF⊥BD于F,

则有:S△AODDO·AE,S△BOCBO·CF

    S△OABOB·AE,S△DOCOD·CF

   ∴S△AOD·S△BOC OB·OD·AE·CF

    S△OAB ·S△DOCBO·OD·AE·CF

   ∴S△AOD·S△BOC=S△OAB ·S△DOC

4、猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样,这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时,通常也是根据题目给出的关系式进行类比,仿照猜想数式规律的方法解答。

例4(江苏连云港)(1)如图5,在梯形ABCD中,AB∥CD,,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某学生在研究这一问题时,发现如下事实:

图5

①当时,有

②当时,有

③当时,有

时,参照上述研究结论,请你猜想用k表示DE的一般结论,并给出证明;

(2)现有一块直角梯形田地(如图6所示),其中AB∥CD,310米,170米,70米.若要将这块地分割成两块,由两农户来承包,要求这两块地均为直角梯形,且它们的面积相等.请你给出具体分割方案.

分析:猜想的东西未必完全正确,鉴于此,本题按照“猜想--证明--应用”的思路设计题目,体现了知识的产生过程、科学论证和应用价值。

(1)仿照例1、例2的解题思路,不难猜想出关系式:EF =

 证明:过点E作BC的平行线交AB于G,交CD的延长线于H.

∵AB∥CD,∴,∴

////,∴

,可得

(2)在上取一点E,作EF∥AB交BC于点F,设

则EF=

,则

∵梯形ABCD、DCFE为直角梯形,

化简得解得:(舍去),

所以只需在AD上取点E,使米,作EF∥AB(或),

即可将梯形分成两个直角梯形,且它们的面积相等. 

 0  47593  47601  47607  47611  47617  47619  47623  47629  47631  47637  47643  47647  47649  47653  47659  47661  47667  47671  47673  47677  47679  47683  47685  47687  47688  47689  47691  47692  47693  47695  47697  47701  47703  47707  47709  47713  47719  47721  47727  47731  47733  47737  47743  47749  47751  47757  47761  47763  47769  47773  47779  47787  447348 

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