21．(本题满分14分)已知函数：f (x) = x (1 +x)²．

(1)求函数f (x)的极值，并作出函数图象的简图；

(2)求实数a，b的值，使函数在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；

(3)是否存在区间[a，b] (a＜b≤0)，使f (x)在区间[a，b]上的值域为[ka，kb]，且使k的值最小？若存在，求出a，b的值和k的最小值；若不存在，请说明理由．

20．(本题满分13分)已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．

　 　(1)求双曲线C₂的方程；

　　 (2)若直线l：y = kx +与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围．

19．(本题满分12分)已知数列{a_n}的首项a₁ = ，前n项和S_n = n²a_n (n≥1)．

①求数列{a_n}的通项a_n；

②记b₁ = 0，b_n = 　(n≥2)，T_n为数列{b_n}的前n项和，

求证：0≤。

18．(本题满分12分)如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB = AD = 2，DC = 2，

AA₁ = ，AD⊥DC，AC⊥BD，垂足为E．

(1)求证：BD⊥A₁C；

(2)求二面角A₁-BD-C₁的大小；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)求异面直线AD与BC₁所成角的在大小．

17．(本题满分12分)已知，记函数f (x) = ()·，若函数f (x)的图象与直线y = m (m为常数)相切，且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．

　　 ①求f (x)的表达式及m的值；

　　 ②将y = f (x)的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)后得到y = g (x)的图象，若函数y = g (x)，x∈()的图象与y = a的图象的交点的横坐标成等比数列，求a的值．

16．(本题满分12分)甲、乙两名同学参加时事知识竞赛，竞赛试卷共4道题，两人独立答题。甲答对每道题的概率为P，乙答对每道题的概率为q，若对某题甲、乙都答对的概率为0.48，只有甲答对的概率为0.32．

　　 ①求p与q的值　　　　　　　　

②若答对一题得100分，不答或答错得–100分，求甲总分不为负分的概率．

15．设O为抛物线y² = 4x的顶点，点P为定直线x = 3上任一点，直线OP与抛物线交于点M，过点P且与抛物线对称轴平行的直线与抛物线交于点N，则直线MN恒过定点 ____．

14．已知y = sin 为偶函数，它的对称中心为()，并且在[0，]上单调，则=___；____．

13．函数f (x)的定义域为{x|x≠1, x∈R}，已知f (x + 1)为奇函数，当x＜1时，f (x) = 2x² – x + 1，那么当x＞1时，f (x)的递减区间是____．

12．在边长为1的正方形ABCD内部(含边界)有动点P,则动点P到定点A的距离不小于的概率为_______。