由.得故越大.越小,——青夏教育精英家教网—

1. 由，得

　　故越大，越小；

人造卫星在绕地球运行时，只考虑地球对卫星的万有引力，不考虑其他天体(如太阳、火星等)对它的万有引力。

人造卫星绕地球运行时的轨道圆心必须与地心重合，而且卫星在轨道上做圆周运动时地球对卫星的万有引力刚好等于卫星的向心力。

[例7] 可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　 )

A. 与地球表面上某一纬度(非赤道)是共面同心圆

B. 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

D. 与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是运动的

解析：人造地球卫星做圆周运动的向心力是由地球对卫星的万有引力来提供，这个引力的方向是指向地心的，所以卫星运动的圆周的圆心一定要在地心上，因此其圆轨道与地球表面上某一纬度(非赤道)是共面同心圆是不可能的，故A选项错误，D选项正确；由于地球表面的经度是随着地球的自转而运动的，而卫星的运动轨道是固定的，所以B选项也是错误的；C选项描述的是地球同步卫星，轨道半径是确定值，相对地球是静止的，故本题正确的答案是CD。

点评：在天体运行中，无论是近地卫星还是同步卫星，做圆周运动的向心力都是由地球对它的万有引力来提供的，这一点必须明确。

赤道上的物体在地球自转时受到两个力作用：地球对它的万有引力和支持力。这两个力的合力提供物体做圆周运动的向心力，即，这里

此时物体的向心加速度，远远小于地面上的重力加速度，在近似计算中可忽略自转的影响，认为地面上物体的重力等于万有引力。

绕天体运行的卫星只受万有引力作用，处于完全失重状态，故。卫星的向心加速度等于卫星所在处的重力加速度。对近地卫星，有。

[例6] 地球赤道上的重力加速度为，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的(　　 )

A. 倍　　 B. 倍　　 C. 倍　　 D. 倍

解析：赤道上的物体随地球自转时，有

，其中

要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地卫星，则

，于是

所以，选项B正确。

卫星绕天体稳定运行时，由万有引力提供向心力，得，由此可知，轨道半径越大，卫星的速度越小。

当卫星由于某种原因使速度突然改变时，，运行轨道发生变化。若突然变大，，卫星做离心运动；若突然变小，，卫星做近心运动。

注意不能通过判断卫星如何变轨，因为变轨过程中卫星的速度改变，但是待卫星再次达到稳定状态时，仍有成立。

[例5] 如图3，、、是三颗在圆轨道上运行的卫星，则(　　 )

A. 、的线速度大小相等，且大于的线速度

B. 、的向心加速度大小相等，且大于的向心加速度

C. 加速可追上同一轨道上的，减速可等侯同一轨道上的

D. 卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，则其线速度将变大

图3

解析：、在同一轨道上运行，线速度大小、加速度大小均相等，又、轨道半径大于轨道半径，由知，，故A错。

由加速度知，，故B错。

当加速时，它受到的万有引力，它将偏离原轨道，做离心运动；当减速时，它受到的万有引力为，它将偏离原轨道，做近心运动。所以C错。

卫星的轨道半径缓慢减小时，在较短时间内，可认为做稳定运动，由知，逐渐减小时逐渐增大，故D正确。

任何一颗地球卫星的轨道平面都必须通过地心，由万有引力提供向心力，其高度、速度、周期一一对应。

地球同步卫星相对于地面静止，和地球自转具有相同的周期，为24小时。它只能位于赤道上方处，线速度为。

一般卫星的轨道是任意的，周期、线速度可以比同步卫星的大，也可比同步卫星的小，线速度最大值为，最小周期大约84min(近地卫星)。

[例4] 同步卫星离地心距离为，运行速度为，加速度为，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为，第一宇宙速度为，地球半径为R，则(　　 )　　

A. 　　B. 　　C. 　　D.

解析：同步卫星和赤道上的物体的角速度相等，据知；第一宇宙速度是卫星贴近地面绕行时的速度，即近地卫星的速度，近地卫星和同步卫星都满足，所以。本题答案为A、D。

本例涉及三个物体：同步卫星、近地卫星、地球赤道上的物体。同步卫星与地球赤道上的物体的周期都等于地球自转的周期，而不等于近地卫星的周期；近地卫星与地球赤道上的物体的运动半径都等于地球半径，而不等于同步卫星的运动半径；三者的线速度各不相同。

自转周期是天体绕自身某轴线转动一周的时间，公转周期是卫星绕某一中心做圆周运动一周的时间。这两个周期一般情况下并不相等，如地球自转周期为24小时，公转周期为365天。但也有特殊情况，如月球的自转周期等于公转周期，所以它总是以相同的一面朝向地球。

[例3] 已知光从太阳射到地球需时间，地球同步卫星的高度为，地球的公转周期为T，自转周期为。地球半径为R。试推导太阳和地球的质量的表达式。

解析：设太阳质量为M₁，地球质量为M₂，地球同步卫星质量为，则

地球绕太阳做圆周运动，设轨道半径为，则

，而(为光速)

所以

地球同步卫星绕地球做圆周运动，则

所以

万有引力定律公式中的指的是两个质点间的距离，在实际问题当中，只有当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，定律才适用，此时指的是这两个物体间的距离；定律也可适用于两个质量分布均匀的球体之间，此时指的是这两个球心的距离。而向心力公式中的，对于椭圆轨道指的是曲率半径，对于圆轨道指的是圆半径，开普勒第三定律中的指的是椭圆轨道的半长轴。可见，同一个在不同公式中所具有的含义迥异。

[例1] 如图1所示，两个靠得很近的恒星称为双星，这两颗星必须各以一定速度绕某一中心转动才不至于因万有引力而吸引在一起，已知双星的质量分别为和，相距为，万有引力常量为G，求：

(1)双星转动的中心位置；

(2)转动周期。

图1

解析：

(1)设双星转动的中心位置O距离为，与两恒星中心的距离不同

解得

(2)在求第二问时更应注意距离和半径的区别，对恒星，由

得转动周期为

[例2] 飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图2所示，求飞船由A点运动到B点所需要的时间。(已知地球半径为)

图2

解析：本题用开普勒第三定律求解比较简单，即所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，对于在圆周轨道上运行的行星其轨道的半长轴应该是圆半径，所以，当飞船在圆周上绕地球运动时，有，当飞船进入椭圆轨道运动时，有，由两式联立得飞船在椭圆轨道上运动的周期，故解得飞船由A运动到B点所需的时间为。