2．如图所示，分别用两个恒力F₁和F₂先后两次将质量为m的物体从静止开始，沿着同一个粗糙的固定斜面由底端推到顶端，第一次力F₁的方向沿斜面向上，第二次力F₂的方向沿水平向右，两次所用时间相同.在这两个过程中BD

A.F₁和F₂所做功相同　　　　　　　　 B.物体的机械能变化相同

C.F₁和F₂对物体的冲量大小相同　　　 D.物体的加速度相同

1．物体在恒定的合力作用下做直线运动，在时间Δt₁内动能由0增大到E₁，在时间Δt₂内动能由E₁增大到E₂.设合力在Δt₁内做的功是W₁、冲量是I₁；在Δt₂内做的功是W₂、冲量是I₂.那么A

A.I₁＞I₂，W₁＝W₂　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.I₁＜I₂，W₁＝W₂

C.I₁＜I₂，W₁＜W₂　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　 D.I₁＝I₂，W₁＜W₂

我们已经复习了牛顿定律、动量定理和动量守恒、动能定理和机械能守恒。它们分别反映了力的瞬时作用效应、力的时间积累效应和力的空间积累效应。解决力学问题离不开这三种解题思路。

[例3] 如图所示，a、b、c三个相同的小球，a从光滑斜面顶端由静止开始自由下滑，同时b、c从同一高度分别开始自由下落和平抛。下列说法正确的有

A．它们同时到达同一水平面　　 B．重力对它们的冲量相同

C．它们的末动能相同　　　　　 D．它们动量变化的大小相同

解析：b、c飞行时间相同(都是)；a与b比较，两者平均速度大小相同(末动能相同)；但显然a的位移大，所以用的时间长，因此A、B都不对。由于机械能守恒，c的机械能最大(有初动能)，到地面时末动能也大，因此C也不对。a、b的初动量都是零，末动量大小又相同，所以动量变化大小相同；b、c所受冲量相同，所以动量变化大小也相同，故D正确。

[例4] 海岸炮将炮弹水平射出。炮身质量(不含炮弹)为M，每颗炮弹质量为m。当炮身固定时，炮弹水平射程为s，那么当炮身不固定时，发射同样的炮弹，水平射程将是多少？

解析：两次发射转化为动能的化学能E是相同的。第一次化学能全部转化为炮弹的动能；第二次化学能转化为炮弹和炮身的动能，而炮弹和炮身水平动量守恒，由动能和动量的关系式知，在动量大小相同的情况下，物体的动能和质量成反比，炮弹的动能，由于平抛射高相等，两次射程的比等于抛出时初速度之比

[例5] 质量M的小车左端放有质量m的铁块，以共同速度v沿光滑水平面向竖直墙运动，车与墙碰撞的时间极短，不计动能损失。动摩擦因数μ，车长L，铁块不会到达车的右端。到最终相对静止为止，摩擦生热多少？

解析：车与墙碰后瞬间，小车的速度向左，大小是v，而铁块的速度未变，仍是v，方向向左。根据动量守恒定律，车与铁块相对静止时的速度方向决定于M与m的大小关系：当M>m时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是；当M=m时，显然最终共同速度为零，当M<m时，相对静止时的共同速度必向右，再次与墙相碰，直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能

[例6]　 用轻弹簧相连的质量均为2 kg的A、B两物块都以v＝　 6 m／s的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg的物块C静止在前方，如图所示.B与C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：

(1)当弹簧的弹性势能最大时，物体A的速度多大?

(2)弹性势能的最大值是多大?

(3)A的速度有可能向左吗?为什么?

解析：(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大.

由于A、B、C三者组成的系统动量守恒，(m_A+m_B)v＝(m_A+m_B+m_C)v_A′

解得 v_A′= m/s=3 m/s

(2)B、C碰撞时B、C系统动量守恒，设碰后瞬间B、C两者速度为v′，则

m_Bv=(m_B+m_C)v′　 v′==2 m/s

设物A速度为v_A′时弹簧的弹性势能最大为E_p，

根据能量守恒E_p=(m_B+m­_C) +m_Av²-(m_A+m_B+m_C)

=×(2+4)×2²+×2×6²-×(2+2+4)×3²=12 J

(3)A不可能向左运动

系统动量守恒，m_Av+m_Bv=m_Av_A+(m_B+m_C)v_B

设 A向左，v_A＜0，v_B＞4 m/s　　 则作用后A、B、C动能之和

E′=m_Av_A²+(m_B+m_C)v_B²＞(m_B+m_C)v_B²=48 J

实际上系统的机械能　 E=E_p+(m_A+m_B+m_C)·=12+36=48 J

根据能量守恒定律，＞E是不可能的

[例7] 如图所示，滑块A的质量m＝0.01 kg，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2，用细线悬挂的小球质量均为m=0.01 kg，沿x轴排列，A与第1只小球及相邻两小球间距离均为s=2 m，线长分别为L₁、L₂、L₃…(图中只画出三只小球，且小球可视为质点)，开始时，滑块以速度v₀＝10 m/s沿x轴正方向运动，设滑块与小球碰撞时不损失机械能，碰撞后小球均恰能在竖直平面内完成完整的圆周运动并再次与滑块正碰

(1)滑块能与几个小球碰撞?

(2)求出碰撞中第n个小球悬线长L_n的表达式.

解析：(1)因滑块与小球质量相等且碰撞中机械能守恒，滑块与小球相碰撞会互换速度，小球在竖直平面内转动，机械能守恒，设滑块滑行总距离为s₀，有

　 得s₀＝25 m　　

(2)滑块与第n个球碰撞，设小球运动到最高点时速度为v_n′

对小球,有: 　①　　　　　　 　②

对滑块，有：　 ③

解 ①②③三式:　 　　

[例8] 如图所示，两个小球A和B质量分别是m_A=2.0 kg，m_B=1.6 kg.球A静止在光滑水平面上的M点，球B在水平面上从远处沿两球的中心连线向着球A运动.假设两球相距L≤18 m时存在着恒定的斥力F，L＞18 m时无相互作用力.当两球相距最近时，它们间的距离为d＝2 m，此时球B的速度是4 m／s.求：

(1)球B的初速度；(2)两球之间的斥力大小；

(3)两球从开始相互作用到相距最近时所经历的时间.

解析：(1)设两球之间的斥力大小是F，两球从开始相互作用到两球相距最近时的时间是t₀当两球相距最近时球B的速度是v_B=4 m/s，此时球A的速度与球B的速度大小相等，v_A＝v_B＝4 m/s.

由动量守恒定律可得：m_Bv_B0＝m_Av_A+m_Bv_B ①　 代人数据解得v_B0＝9 m/s(1分)

(2)两球从开始相互作用到它们之间距离最近时它们之间的相对位移Δs＝L-d

由功能关系可得：FΔs=m_Bv_B0²-(m_Av_A²+m_Bv_B²)②　 代人数据解得F=2.25 N

(3)根据动量定理，对A球有：Ft=m_Av_A-0　　 t=

代入数值解得t= s=3.56 s　

功是一种过程量，它和一段位移(一段时间)相对应；而能是一种状态量，它个一个时刻相对应。两者的单位是相同的(都是J)，但不能说功就是能，也不能说“功变成了能”。 做功的过程是能量转化的过程，功是能量转化的量度。

⑴物体动能的增量由外力做的总功来量度：W_外=ΔE_k，这就是动能定理。

⑵物体重力势能的增量由重力做的功来量度：W_G= -ΔE_P，这就是势能定理。

⑶物体机械能的增量由重力以外的其他力做的功来量度：W_其它=ΔE_机，(W_其它表示除重力以外的其它力做的功)，这就是机械能守恒定律。

⑷物体电势能的改变由重力做的功来量度。

(5)弹性势能的改变由弹力做功来完成

(6)一对互为作用力反作用力的摩擦力做的总功，用来量度该过程系统由于摩擦而减小的机械能，也就是系统增加的内能。f žd=Q(d为这两个物体间相对移动的路程)。

[例1] 质量为m的物体在竖直向上的恒力F作用下减速上升了H，在这个过程中，下列说法中正确的有A、C

A.物体的重力势能增加了mgH

B.物体的动能减少了FH

C.物体的机械能增加了FH

D.物体重力势能的增加小于动能的减少

[例2]　 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。小球下降阶段下列说法中正确的是(B、C、D)

　 A．在B位置小球动能最大　　

B．在C位置小球动能最大

　 C．从A→C位置小球重力势能的减少大于小球动能的增加

　 D．从A→D位置小球重力势能的减少等于弹簧弹性势能的增加

8．长L的绳子，一端拴着半径为r，重为G的球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面的A点上，如图所示，试求绳子中的张力

7．如图(甲)所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点．另一端拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。图(乙)所示为一质量可忽略的动滑轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？

6．如图所示，玻璃管内活塞P下方封闭着空气，P上有细线系住，线上端悬于O点，P的上方有高h的水银柱，如不计水银、活塞P与玻璃管的摩擦，大气压强为p₀保持不变，则当气体温度升高时(水银不溢出)(　 )

　 A．管内空气压强恒为(p₀十ρgh)(ρ为水银密度)

　 B．管内空气压强将升高

　 C．细线上的拉力将减小

　 D．玻璃管位置降低

5．如图所示，一个本块A放在长木板B上，长木板B放在水平地面上．在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平弹簧秤的示数为T．下列关于摩擦力正确的是(　　 )

A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T

B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T

C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到的摩擦力大小等于2T

D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T

4．如图所示，两光滑硬杆AOB成θ角，在两杆上各套上轻环P、Q，两环用细绳相连，现用恒力F沿OB方向拉环Q ，当两环稳定时细绳拉力为(　　 )

A．Fsinθ　 B．F/sinθ

C．Fcosθ　　 D．F/cosθ

1．把重20N的物体放在倾角为30°的粗糙斜面上，物体右端与固定在斜面上的轻弹簧相连接，如图所示，若物体与斜面间的最大静摩擦力为 12 N，则弹簧的弹力为(　 )

A．可以是22N，方向沿斜面向上

B．可以是2N．方向沿斜面向上

C．可以是2N，方向沿斜面向下

D．可能为零

2两个物体A和B，质量分别为M和m，用跨过定滑轮的轻绳相连， A静止于水平地面上，如图所示，不计摩擦力，A对绳的作用力的大小与地面对A的作用力的大小分别为()

A．mg，(M－m)g　　　　 B．mg，Mg

C．(M－m)g， M g　　　 D．(M+m)g，(M－m)g

3如图所示，当倾角为45°时物体m处于静止状态，当倾角θ再增大一些，物体m仍然静止(绳子质量、滑轮摩擦不计)下列说法正确的是(　　 )

A．绳子受的拉力增大

B．物林m对斜面的正压力减小

C．物体m受到的静摩擦力可能增大

D．物体m受到的静摩擦力可能减小