6、物体AB继续向上运动，物体A受重力m₁g，而B由于弹簧被拉伸还受到向下的弹簧弹力f，因此弹簧恢复原长后，物体A与B脱离。物体A做竖直上抛运动，机械能守恒；物体B由于弹簧作用将做上下往复运动，B与弹簧组成的系统机械能也守恒。

以上对整个运动过程作了较详细分析后，解题思路就清晰了。

解 ①弹簧恢复原长后，(图6)向上做上抛运动，机械能守恒，即：m₁gL+m₁v²/2=m₁gh

所以：

②弹簧弹性势能E_p’最大，(即图1中弹性势能E_p’)当力F撤消后，图l至图5中，弹性势能转化为AB的动能与重力势能，至弹簧恢复原长，弹性势能为0，此过程系统机械守恒：

E_pmax’=(m₁+m₂)v²/2+(m₁+m₂)gx

=(m₁+m₂)g(h-L-x)

5、当弹簧恢复原长时，f=0，物体AB此刻有相同向上速度v。

4、物体AB继续向上运动，弹力f=kx继续减小，此时f<(m₁+m₂)g，AB受到合力方向向下，大小F_合=(m₁+m₂)g-f，由于f减小，F_合增大，a增大，因此物体AB向上做加速度增大的减速运动，速度逐渐减小。该过程仍为弹簧弹性势能转化为AB的动能与重力势能。

3、当f=(m₁+m₂)g时，F_合=0，即a=0，物体AB向上的速度达到最大值v_max。

2、力F撤消后，由于f>(m₁+m₂)g，物体AB受到的合力方向向上，AB将开始向上运动。因此弹簧压缩量x减小；弹力f减小F_合=f-(m₁+m₂)g也随之减小，加速度a也减小，所以物体AB将向上做加速度逐渐减小的变加速运动。该过程中，弹簧弹性势能转化为物体AB的动能与重力势能。

机械能等于动能与势能的代数和，而势能包括重力势能与弹性势能，即E＝E_k+E_p+E_p’，我们在学习过程中遇到的大多是关于动能与重力势能的问题。下面则是一道含有弹簧的机械能守恒问题，现在我们结合机械能解题的基本方法对该例题进行分析。

例 如图，竖直向下的力F作用于质量为m₁的物体A上，物体A置于质量为m₂的物体B上，B与原长为L的直立于水平地面上的轻弹簧上端相连，平衡时弹簧的压缩量为x。现将F撤去．物体AB向上运动，且物体A向上运动达到最高点时离地面高度为h，求：①弹簧恢复原长时物体A的速度；⑨弹簧弹性势能的最大值。

[分析](一)判断机械能是否守恒：(此类问题应首先考虑能量方法，其次才考虑其它方法)

在整个过程中(F撤消后)，只有重力及弹簧弹力对物体做功，所以物体AB与弹簧组成的系统机械能守恒。

(二)设想物理图景，分析各图景中的受力、运动及能量转化情况：(以下物理图景与分析步骤对应)

1、初始状态：物体AB处于平衡状态，对AB整体受力分析得：f=kx=F+(m₁+m₂)g。

动量守恒和机械能守恒是力学中两个重要的守恒定律，它们有完全不同的守恒内容和各自严格的成立条件，必须学会区别和判定。

一物体被匀速提起，其动量守恒，动能也守恒，但重力势能增加，机械能不守恒，这是因为有重力以外的拉力做正功的原因。

单摆运动，显然动量不守恒，动能也不守恒，但绳拉力不做功，运动过程只有重力做功，所以机械能守恒。

做抛体运动的物体如果有受到空气阻力作用，物体的动量、动能、机械能都不守恒。

例 如图示，甲、丙是具有四分之一圆弧的光滑槽，乙是粗糙水平槽。三者相触置放于光滑水平面上，能让小球在其上平顺滑过。现让小球从高处落下恰能切入甲槽。下列说法正确的是：

A、球在甲槽上滑行时，取球和甲为系统，动量不守恒，系统机械能守恒。

B、球滑上乙后，取球乙、丙为系统，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒。

C、球滑上丙后，取球、丙为系统，机械能守恒，水平方向的动量守恒。

D、取甲、乙、丙为系统，机械能守恒，动量也守恒。

(答案)ABC

例 如图，摆球质量m＝0.1kg，摆长L＝0.1m，球与水平面接触而无压力。两侧等远处有正对挡板，相距2m。另有质量M＝m的小滑块与水平面间摩擦因数为0.25，从左挡板处以初速的向小球方向运动。设滑块与小球，滑块与挡板的每次碰撞系统均无机械能损失。滑块静止前小球在竖直面内绕O点完成10次完整的圆周运动，求v₀的最小值。(g取10m／s²)

解 取滑块和小球为一系统，碰撞前后水平方向动量守恒。因M＝m，碰撞无能量损失，所以碰后二者交换速度，即滑块停于中点，小球作圆周运动。当小球反碰滑块时，小球停止，滑块继续向右，碰挡板后等值反向运动，重复上述过程。此外，滑块滑行过程克服阻力做功，动能减少，因此，小球圆周运动的速度也越来越小。第10次圆周运动小球在最高点的速率v₂应为＝1m/s。根据机械能守恒定律，这时小球在最低点速度v₁为m/s，这也就是滑块在小球完成10次圆周运动后具有的最小速度。容易推算，这之前滑块已来回滑行19米的路程，根据动能定理，设滑块的最小初速度为v₀，应有：

　　 　　得v₀＝10m/s

系统内力做功问题

凡符合“只有重力做功，其它力均不做功”这一条件的问题，用机械能守恒定律来求解是十分方便的。因为它只涉及到研究对象(某一物体或某一物体系统)的始末两状态的机械能，而不考虑运动过程的任何细节，也不考虑做功的数值，列式和求解都很便捷．

对于单一物体，我们很容易判断它是否满足机械能守恒的条件对于某一系统来说，用隔离法考察系统内每一个物体，它们可能不符合机械能守恒的条件。但对整体，除重力外，无其它外力做功，且内力做功的代数和为零，则该系统的机械能也是守恒的。如图示，A和B在运动中除了重力做功外，绳子拉力对它们都做功，因而在A上升和B下降过程中，A和B各自的机械能不守恒，但如果把它们看成一个整体，则绳子拉力是它们之间相互作用的内力，拉力对A做正功的数值和拉力对B做负功的数值相等，就整体而言，内力不做功，故整个系统机械能守恒。

有些问题中，系统所受其它外力不做功，但系统内力做功的代数和不为零，则该系统的机械能就不守恒。如图示，滑块A滑上小车B粗糙的上表面后，A、B之间相互作用的内力(摩擦力)做功的代数和不为零，即使地面光滑，A、B系统的机械能也是不守恒的。

例 如图所示，在光滑的水平面上放有一质量为m、高为a的立方块．一根轻杆长4a，下端用铰链固定在地面上，上端固定一质量也为m的重球．开始杆与水平面成53°角静止，杆与木块无摩擦．释放后，当杆与水平面成30°角时，木块速度多大?

解 此题球与木块的运动过程复杂，有关力做功的情况又不清楚，放无法从动力学、动能定理求解．我们可把球和木块看成一个系统，对此系统来说，只有小球重力做功，内力做功代数和为零，系统的机械能是守恒的(杆的质量不计，其能量也不考虑)。

由机械能守恒定律，可得：

　　 (1)

从图中看出，木块实际运动速度v_木可分解为沿杆向上的速度v₁和垂直于杆的速度v₂，且：

v₂=v_木sin30°＝v_木/2

小球的速度也垂直于杆的，它与v₂的比值等于转动半径之比：

，v_球=2v₂=v_木　　　 (2)

把(2)式代入(1)即可得

2、重力做功一定改变物体的重力势能，这是又一种重要的功能关系。在一个过程中，重力做多少功，重力势能就减少多少，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，而跟零势能面的选取无关，跟物体做什么运动，是否有其它力做功以及物体动能是否变化等也无关，这是要特别注意的。

例 物体从A运动到B点的过程中，重力做功8J，推力做功2J，物体克服阻力做功10J。则：

A、物体重力势能一定减少8J　　 B、物体机械能一定减少10J

C、合力功为零　　　　　　　　 D、重力做功一定不改变物体的动能

(答案)AC

1、物体受到重力作用具有重力势能。它的表达式E_p＝mgh，适用于g不变的情况。式中h是相对于选定的零势能面的高度，所以重力势能和功、动能一样具有相对性。重力势能也是标量，有正、负、零之分。重力势能等于零，并不意味着物体不具有重力势能，零值势能比负势能大。因此，在比较势能大小时，既要选取同一参考面，又要注意它的符号，这跟功大小的比较是不一样的。