广东省中山市2008-2009学年高三第一学期期末统一考试
数学科试卷（理科）
本试卷分第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分。共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。
3、不可以使用计算器。
4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。
一、选择题（每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．函数
是
A．周期为
的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为
的奇函数 D．周期为的偶函数
2．已知物体的运动方程为
（t是时间，s是位移），则物体在时刻t=2时的速度为
A．
B．
C．
D．
3．已知
，那么
A．－2 B．
4．已知在等差数列｛
｝中,
若
，则n的最小值为
A．60 B．62 C．70 D．72
5．
中，若
，则的外接圆半径为
A．
B．
C．
D．
6．若实数
满足条件
, 目标函数
，则
A．
B．
C． 
D．
7．底面是矩形的四棱柱
中，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
8．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 种。
A．24 B．28 C．36 D．48
第II卷（非选择题共110分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．若数据
的平均数
=5，方差
，则数据
的平均数为 （2分），方差为 （3分）。
10．直线
与抛物线
所围成图形的面积为 .
11．若
，则
=
.
12．已知函数
满足，
，则
=
.
13．以下有四种说法：
（1）若
为真，
为假，则
与
必为一真一假；
（2）若数列
的前
项和为
，则
；
（3）若
，则在
处取得极值；
（4）由变量x和y的数据得到其回归直线方程
，则
一定经过点
.
以上四种说法，其中正确说法的序号为 ．
14．为迎接校庆，学校准备投入a元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD的造价为40元/
，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD的面积越大越好．那么，当矩形ABCD的面积达到最大时，
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
15. （本题满分12分）
已知向量
, 
,
.
（Ⅰ）求
的值;
（Ⅱ）若
, 
,
且
, 求
.
16. （本题满分12分）已知数列
是首项为
，公比
的等比数列，设
，数列
.
（1）求数列
的通项公式；（2）求数列
的前n项和Sn.
17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：
平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求点E到平面ACD的距离．
19. （本题满分14分）已知
，
，
（1）若f(x)在
处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
（2）如右图所示，若函数
的图象在
连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在
使得
？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.
20. （本题满分14分）已知函数
.
（1）若
使
,求实数
的取值范围;
（2）设
,且
在
上单调递增,求实数
的取值范围.
中山市高三级2008―2009学年度第一学期期末统一考试
数学科试卷（理科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
D
B
A
C
C
D
二、填空题（每小题5分，共30分）
9． 16 （2分），18 （3分） 10． 
11． 
12． 
13． （1） （4） 14．
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
15. （本题满分12分）
已知向量, ,
.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若, ,
且, 求.
解：（Ⅰ）
, 
,
. ……………2分
,
,
………3分
即
,
………5分 
.
……………6分
（Ⅱ）
,
……………7分
, 
， 
……………9分 
.
……………12分
16. （本题满分12分）已知数列是首项为，公比的等比数列，，
设，数列.
（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn.
解（1）由题意知，
，……………2分
又
，
故 
……………4分
（2）由（1）知，
……………6分
……7分
于是
…………………………9分
两式相减，得
…………………………12分
……………12分
17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.
（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；
（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为
…………3分
故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分
（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为
………8分
由
……………9分
整理得：
，……………………11分
∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分
答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分
18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（III）求点E到平面ACD的距离．
解：方法一：
（I）证明：连结OC
………1分
在
中，由已知可得
而
即
……………3分
又
平面
……………5分
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角。……………6分
在
中，
……………7分
是直角斜边AC上的中线，
……………8分
异面直线AB与CD所成角大小的余弦为
；……………9分
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
……………11分
在
中，
……………12分
而
……………13分
点E到平面ACD的距离为
……………14分
方法二：
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
（I）同方法一．……………5分
则
………………6分
…………7分
………9分
异面直线AB与CD所成角大小的余弦为；……………10分
（III）解：设平面ACD的法向量为
则
……………11分
令
得
是平面ACD的一个法向量．……………12分
又
点E到平面ACD的距离
……………14分
19. （本题满分14分）已知，，
（1）若f(x)在处取得极值，试求c的值和f(x)的单调增区间；
（2）如右图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在使得？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）
（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.
解：（1）
，………1分
依题意，有
，即 
．……………2分
，
．
令
得
，……………4分
从而f(x)的单调增区间为：
；……………5分
（2）
；……………8分
（3）
，…………9分
……………10分
………12分
由（2）知，对于函数y=g(x)图象上任意两点A、B，在A、B之间一定存在一点
,使得
，又
，故有
，证毕．………14分
20. （本题满分14分）已知函数.
（1）若使,求实数的取值范围;
（2）设,且在上单调递增,求实数的取值范围.
解：（1）由,
，得,
，……………1分
所以，
……………3分
；……………4分
（2）由题设得
，……………5分
对称轴方程为
，
。……………7分
由于在上单调递增，则有
(Ⅰ)当
即
时,有
。……………9分
(Ⅱ)当
即
时，
设方程
的根为
，
① 若
,则
，有
解得
；……………11分
②若
,即
，有
；
。……………13分
由①②得
。
综合(Ⅰ)， (Ⅱ)有 
．……………14分