2007年广东省深圳市高三年级第二次调研考试数学（理科）2007．5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第6页．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在小答题卡上．同时，用黑色钢笔将姓名、考号、座位号填写在模拟答题卡上．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把模拟答题卡上对应题目的答案标号涂黑；最后，用2B铅笔将模拟答题卡上的答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上．
3．考试结束后，将模拟答题卡和小答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；
如果
为椭圆
的半焦距，则该椭圆的准线方程为
．
一．选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，则满足
的集合
的个数是
A．
B．
C．
D．
2．已知
，
为虚数单位，且
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
3．设
，
，
，则
的大小顺序是
A．
B．
C．
D．
4．在
中，
分别是
的对边，且
，则
等于
A．
B．
C．
D．
5．已知命题
：“
”，命题
：“
”．
若命题“且”是真命题，则实数
的取值范围为
A．
或
B．或
C．
D．
6． 已知
，
是由直线
和曲线
围成的曲边三角形的平面区域，若向区域
上随机投一点
，则点落在区域内的概率为
A ．
B ．
C．
D．
7．在教材中，我们学过“经过点
，法向量为
的平面的方程是：
”．现在我们给出平面
的方程是
，平面
的方程是
，则由这两平面所成的锐二面角的余弦值是
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表．
为的导函数，函数
的图象如下图所示．
若两正数
满足
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷 (非选择题共110分)
注意事项:
第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效．
二． 填空题：本大题共7个小题，分必做题和选做题，每小题5分，满分30分．
必做题：第9、10、11、12题为必做题．
9．已知数列
是公差不为的等差数列，
为数列的前
项和，
，则
=________．
10．设二项式
展开式各项的系数和为 P，二项式系数之和为S，P + S = 72，则正整数=________，展开式中常数项的值为___________．
 |
12．已知抛物线
与直线
交于
两点，如果在该抛物线上存在点
，使得
为坐标原点），则实数
＝ ．
选做题：从第13、14、15三道题中选做两题，三题都答的只计算前两题的得分．
13．如图，⊙
和⊙
交于
两点，点在⊙上， ⊙的弦
分别与弦
、
⊙交于
、
两点，若
，
，则⊙的半径为___________．
14．若直线
与曲线
为参数，且
有两个不同的交点，则实数
的取值范围是__________．
15．关于的不等式
在
上恒成立，则实数的最大值是_______．
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知
，
，设
．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当
，
时，求函数的最大值及最小值．
17．（本小题满分12分）有编号为
的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为
，已知
时，共有
种坐法．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求随机变量
的概率分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）如图，正方形
所在的平面与平面
垂直，是
和
的交点，
，且
．
(Ⅰ)求证：
平面
；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角
的大小．
 |
19．
（本小题满分14分）设是定义在
上的奇函数，且当
时， 
．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ) 当
时，求函数在
上的最大值
；
(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有
，求实数的取值范围．
20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心为原点，点
是它的一个焦点，直线
过点与椭圆交于
两点，且当直线垂直于轴时，
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线
，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足
为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）已知数列
满足
，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式
；
（Ⅱ）设
，求数列
的前项和
；
（Ⅲ）设
，数列
的前项和为
．求证：对任意的
，
．
2007年深圳市高三年级第二次调研考试理科数学答案及评分标准
说明：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
C
D
A
D
A
B
二、填空题：第9、10、11、12题为必做题，第13、14、15题为选做题，三题都答的只计算前两题的得分．每小题5分(第10题前空2分，后空3分)，满分30分．
9．
．
10．，
．
11．．
12．
．
13．．
14．
． 15．
．
三．解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）已知
，设．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）当，时，求函数的最大值及最小值．
解：（Ⅰ）
= 
……2分
= 
= 
…………………3分
= 
=
． ………………5分
∴的最小正周期
．
………………………………6分
（Ⅱ）∵ 
， ∴
．
∴当
，即=
时，有最大值
；
………………10分
当
，即=
时，有最小值 ．
……………12分
17．（本小题满分12分）有编号为
的个学生，入坐编号为的个座位．每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知时，共有种坐法．
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求随机变量的概率分布列和数学期望．
解：（Ⅰ）当时，有
种坐法，
……………………………2分
，即
，
，
或
（舍去）．
．
………………………………4分
（Ⅱ）
的可能取值是
，
又
， 
，
，
， ………………………………8分
的概率分布列为：
P
……………………10分
则
．
……………………12分
18．（本小题满分14分）
如图，正方形所在的平面与平面垂直，
是和的交点，，且．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角的大小；
(Ⅲ)求二面角的大小．
解法一：(Ⅰ)∵四边形是正方形，
． ………………………1分
∵平面
平面，
又∵
，
平面
．……………………3分
平面，
． …………………………4分
平面． ………………5分
(Ⅱ)连结
，
平面，
是直线与平面
所成的角．
……………………………5分
设
，则
，
，
……………………………………………6分
，
．
即直线与平面所成的角为． ……………………………………………8分
(Ⅲ)过作
于
，连结
． ……………………………………………9分
平面，
．
平面
．
是二面角的平面角． ……10分
∵平面平面，
平面．
．
在
中， ，有
．
由(Ⅱ)所设可得
，
，
．
……………………………………………12分
．
．
∴二面角等于．
……………………………………………14分
解法二: ∵四边形是正方形 ，
，
∵平面平面，
平面，
……………………………………………2分
∴可以以点为原点，以过点平行于
的直线为轴，分别以直线
和
为
轴和
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
．
设
，则
，
是正方形的对角线的交点，
．…………………………………4分
(Ⅰ)
，
，
，
，
………………………………………6分
平面．
……………………………………………7分
(Ⅱ) 平面，
为平面的一个法向量， ……………………………………………8分
，
． ……………………………………………9分
．
∴直线与平面所成的角为． ………………………………………10分
(Ⅲ) 设平面
的法向量为
，则
且
，
且
．
即
取
，则
， 则
． ……………………………………………12分
又∵
为平面的一个法向量，且
，
，
设二面角的平面角为
，则
，
．
∴二面角等于．
……………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
设是定义在
上的奇函数，且当时， ．
(Ⅰ)求函数的解析式；
(Ⅱ) 当时，求函数在
上的最大值；
(Ⅲ)如果对满足的一切实数，函数在上恒有，求实数的取值范围．
解: (Ⅰ)当
时， 
，则
．
……………………………2分
当
时， 
．
……………………………3分
…………………………4分
(Ⅱ)当时
．
………5分
(1)当
，即
时
当
时，
， 当
时，
，
在
单调递增，在
上单调递减，
．
……………………………7分
(2)当
，即
时，
，
在单调递增．
，
……………………………9分
……………………………10分
(Ⅲ) 要使函数在上恒有，必须使在上的最大值
．
也即是对满足的实数，的最大值要小于或等于． ………………11分
（1）当时，
，此时在
上是增函数，
则
．
，解得
． ………①
………………………………12分
（2）当时，
此时，在
上是增函数， 的最大值是
．
，解得
．………②
……………………………13分
由①、②得实数的取值范围是．
……………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心为原点，点
是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：
，则
．……①……1分
当垂直于轴时，两点坐标分别是
和
，
，则
，即
．………② …3分
由①，②消去，得
．
或
（舍去）．
当
时，
．
因此，椭圆的方程为
．
……………………………5分
（Ⅱ）设存在满足条件的直线．
(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知
，焦点到右准线的距离为
，此时不满足
．
因此，当直线垂直于轴时不满足条件．
……………………………7分
（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为
，则直线的方程为
．
由
，
设两点的坐标分别为
和
，则
，
．
． ……………………9分
又设的中点为，则
．
当为正三角形时，直线
的斜率为
．
，
．
…………………………11分
当为正三角形时，
，即
＝
，
解得
，
．
…………………………13分
因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为
或
．……14分
21．（本小题满分14分）已知数列
满足，
．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
解：（Ⅰ）
，
，……………3分
又
，
数列
是首项为，公比为的等比数列．……5分
， 即
. ………………6分
（Ⅱ）
．
． ………………9分
（Ⅲ）
，
．
……………………10分
当
时，则
．
， 对任意的，．
………………………14分
命题：喻秋生 李志敏 程武军 审题：石永生