[教学目标]
三、情感态度和价值观:体会类比和转化的思想方法
1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率,直线的方向向量,直线平行与垂直的判定;
2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系?
二、建构数学
1、直线的方向向量
我们把直线上的向量以及与共线的向量叫做直线的方向向量
2、平面的法向量
如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面α,则称这个向量垂直于平面α,记作,如果,那么向量叫做平面α的法向量。
思考:一条直线的法向量有多少个?一个平面的法向量有多少个?
三、数学运用
例1 在正方体中,求证:是平面的法向量
证:设正方体棱长为1,以为单位正交基底,
建立如图所示空间坐标系
,,
,所以
同理
所以平面
例2 在空间直角坐标系内,设平面经过点,平面的法向量为,为平面内任意一点,求满足的关系式。
解:由题意可得 即
化简得
说明:与平面中有着很类似的结论
类别
平面方程Ax+By+C=0
空间方程Ax+By+Cz+D=0
表示图形
平面内直线
一个平面
法向量
(A,B)
(A,B,C)
练习:教材P87---2
练习2:已知点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5)
(1)求证A、B、C三点确定一个平面;(2)是平面ABC的一个法向量,且||=,求;(3)求平面ABC满足的方程
四、回顾总结
1、直线得方向向量与平面法向量得概念;
2、求平面法向量得方法
五、布置作业:教材P97---1,2,P99---14
[补充习题]
1、正三棱柱ABC-A1B
2、如图以正四棱锥V-ABCD的底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,其中Ox∥BC,Oy∥AB,E为VC的中点,正四棱锥的底面边长为
(1)求a,h满足的关系式 (2)求cos<,>
[答案]1、(1)(,,1) (2)(-,1,-1)
2、(1)h=a (2)-
3.2.2空间线面关系的判定(1)――定理与线线关系、线面垂直
[教学目标]
[教学重点]用向量方法判断空间线面垂直关系
[教学难点]用向量方法判断空间线面垂直关系
[教学过程]
一、创设情景
三、情感态度和价值观:体会向量的工具作用
1、空间直线与平面平行与垂直的定义及判定
2、直线的方向向量与平面的法向量的定义
二、建构数学
1、用向量描述空间线面关系
设空间两条直线的方向向量分别为,两个平面的法向量分别为,则由如下结论
平 行
垂 直
与
与
与
2、相关说明:
上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法,判断的依据是相关的判定与性质,要理解掌握。
三、数学运用
例1 证明:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(三垂线定理)
已知:如图,OB是平面的斜线,O为斜足,,A为垂足,
求证:
证明:
说明:其逆定理是否成立?如何证明?
例2 、证明:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(直线于平面垂直的判定定理)
已知:,
求证:
证明:在内任作一条直线,在直线上分别取向量
所以
因为
所以
可得
即
例3 在直三棱柱中,, ,是得中点。求证: (教材88页例3)
另证明方法:如图,建立空间坐标系
总结:用向量证明比几何方法证明简单、明了。
练习:若CD⊥A1B1于D,在线段BB1上是否存在点F,使AF⊥平面C1DF(存在,BF=)
练习:教材P91---练习1、3、5
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