［解题要点］
关键点：本题应从常规的求曲线的切线方法中求解，就比较容易得到正确的答案. 解题如下：
设曲线上一点P，则在P点处的切线的斜率为：，根据直线的点斜式方程得到切线方程为：. 于是，切线与曲线的交点可由下列方程组求得：

整理得，(x-x₀)²(x+2x₀)=0，从而得到，x=x₀，或x=2x₀.
∵P不是原点，∴x₀≠0，于是，上述方程有两个实数根，即切线与曲线有两个公共点.
当然，本题可以从x→∞时，曲线的变化趋势也能得到正确的答案，无论时x→+∞，还是x→-∞，其切线的斜率均在增大，曲线就变的越来越陡，从而总能使切线（变化率恒定）与曲线（变化率无限增加≥-4）相交.
难点：正如一般填空题的难点一样，本题是一个小题却要从“通性通法”处解决，一方面比较繁，另一方面不容易想到. 同时，用图像解决还会有画图不准确的困难.
注意点或易错点：容易错误地填上答案：1个或2个. 由于本题的函数是个三次函数，学生比较熟悉，许多学生会利用函数图像的草图，不容易考察到无限远处的情况，如直线l₁与曲线的公共点情况不容易真实考虑。

2、［试题正文] 已知点P是函数f(x)=图像上异于原点的一点，则过点P的曲线f(x)的切线与曲线f(x)的公共点有                个.

［答案及评分标准］2个

［试题来源］原创

［命题意图］根据“考试说明”中的导数的几何意义要求为“理解导数的几何意义”，于是，对于切线的概念必须有一个明确理解，特别是切线的定义与初中圆的切线的定义有较大的区别. 鉴于此，本题命制的关键点立足于“公共点”上. 本题属中档难度.

原题的出处：（2003年全国）在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AC²+AB²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.

证明仿上：略

②本题的解题要点：类比推理中一个重要类型是，平面几何中的结论推广到空间几何：点   线；线     面；面    体 。所以 ，线线角     二面角，提炼出这样一个模型，是本题关键。难点是射影定理的使用及面积转换。

  。

①本题的命题意图： 通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。

同理：,。所以，

则=

由射影定理：AF²=FH×FB,因为,

从而ABAF，BFCD, AFCD.中，AHBF,

因为三个侧面ACD，ABD，ABC两两垂直，易证AB平面ACD,