3．向量的数量积的性质：

若=(),b=()则e·=·e=︱︱cos　 (e为单位向量);

⊥b·b=0(，b为非零向量);︱︱=;

cos==．

2．两个向量的数量积：

已知两个非零向量与b，它们的夹角为，则·b=︱︱·︱b︱cos．

其中︱b︱cos称为向量b在方向上的投影．

1．向量的夹角：

已知两个非零向量与b，作=, =b,则∠AOB= ()叫做向量与b的夹角。

15、解：(1)方程有两实根或…………………………..1分

由题意知:当时,，

又∵　　　　　 ∴…………………………………………….3分

∴是的一个零点，同理，也是的一个零点，…………………….4分

∴，即，，

显然，对恒成立。

∴，…………………………………………………………………….6分

(2)∵，，

∴，……………………………..7分

∴，，，

∴，………………………………………………………..…..9分

……………...10分

又∵…………….12分

∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………….13分

∴，∴为定值。………………………..14分

14、解：(1)在上为增函数…………………………………..1分

∵，∴，……….…………….3分

∵ 当时，……………………………….4分

∴ 当时，，

∴当时，，…………………………..5分

∴，∴在上单增。………………………6分

(2)由题意及(1)可知，，，…………………7分

∴……..8分

∵，∴，……………..9分

，

∴…………………………………………………..10分

令则

∴，……………………………………………11分

∵………………………………..…….12分

∴在单增，……………………………………..……………..13分

∴当时，。………………………………………………..14分

13、解：(1)由抛物线经过点、设抛物线方程，

又抛物线过点，则，得，

所以。　　　　　　 …………………… 3分

(2)，

，函数在和处取到极值，…… 5分

故，

，

　 ………… 7分

又，故。　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 8分

(3)设切点，则切线的斜率

又，所以切线的方程是

　　 …… 9分

又切线过原点，故

所以，解得，或。　 ………… 10分

两条切线的斜率为，，

由，得，，

，

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 12分

所以，

又两条切线垂直，故，所以上式等号成立，有，且。

所以。　　　　　　　 ………… 14 分

12、解：由 ，得点是的中点，

则， 故，，………… 4分

所以

　 …… 6分

(2)由(1)知当时，。　　　 …… 8分

又，　 ………… 10分

∴，

　 ∴

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 13分

　 (，且)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………… 14分

10、解：(1)当时，由得，

；(且)------------------------------------------------------2分

当时，由.得--------------------------------------4分

∴---------------------------5分

(2)当且时，由<0,解得，---------------6分

当时，------------------------------8分

∴函数的单调减区间为(－1，0)和(0，1)---------------------------------------9分

(3)对，都有即，也就是对恒成立，-------------------------------------------11分

由(2)知当时，

∴函数在和都单调递增-----------------------------------------------12分

又，

当时，∴当时，

同理可得，当时，有，

综上所述得，对， 取得最大值2；

∴实数的取值范围为.----------------------------------------------------------------14分

11(1)解：函数有一个零点为5，即方程，有一个根为5，将代入方程得，∴，∴---------------1分

由得

∴或-------------------------------3分

由(1)知，∴不合舍去

由得---------------------------4分

方法1：由得----------------------5分

∴数列是首项为，公比为的等比数列

∴，∴-------------------------------6分

(方法2：由---①得当时----②

①-②得

∴()即数列是首项为，公比为的等比数列

∵，∴---------------③

由①得代入③整理得)

(2)由(1)知

∴＝------8分

∵对有，∴

∴，即---------------------------------------------10分

(3)由得

∴＝-----------------------11分

令，则，＝

∵函数在上为增函数，在上为减函数-----12分

当时，当时，当时，，当时，

∵，且

∴当时,有最小值，即数列有最小项，最小项为

--------------------------------------------------------13分

当即时，有最大值，即数列有最大项，最大项为．

9、解：(1)证明：定义在R上的函数对任意的，

都有成立

令　　　　　 (1分)

令　　　　　

∴　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∴为奇函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)证明：由(1)知：为奇函数， ∴　 (5分)

任取，且，则　　　　　　

　　 ∵

　 ∴

∵当时，，　

∴，∴　　　　 (8分)

∴是R上的增函数。　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)

(3)解：∵，且

　　　　 ∴　　　　　　　　　　　 (10分)

　　 由不等式，得　　　　 (11分)

　 由(2)知：是R上的增函数

　 ∴　　　　　　 (13分)

　 ∴不等式的解集为：　　　　　　　　　 (14分)

8、解：(I)由图形知：　　 ………2分

　解之,得∴函数f(x)的解析式为　　　　 ………4分

(Ⅱ)由　　 得 　…2分

∵0≤t≤2，

∴直线l₁与f(x)的图象的交点坐标为　　　　　 ……………3分

由定积分的几何意义知：

　………4分

.　　　　　　 　　　　　　　　……………5分

(Ⅲ)令

因为x＞0，要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点，则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………1分

.

当x∈(0，1)时，是增函数；

当x∈(1，3)时，是减函数;

当x∈(3，+∞)时，是增函数;　　　　　　　 ………………2分

当x=1或x=3时，.

∴.

又因为当x无限趋近于零时，当x无限大时,

所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须

　　　　　　　　　　　　　　 ……………………4分

即∴m=7,或

所以当m=7或时，函数与的图象有且只有两个不同交点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………5分