14. 设复数z=+,
问当x为何实数时,z是⑴实数, ⑵ 虚数, ⑶ 纯虚数, ⑷ z在复平面上对应的点在实轴上方,⑸|z|=1
解:⑴当,即x=a或时z为实数;
⑵当,即且时z为虚数;
⑶当=0且,即x=1时z为纯虚数
⑷.若0<a<1,则0<x<a或x>;若a>1,则x>a或0<x<时z对应的点在实轴上方;
⑸当+=1即x=1时,|z|=1
[探索题]设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,求证:u为纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值
解(1):设z=a+bi(a、b∈R,b≠0),
则ω=a+bi+=(a+)+(b-)i
∵ω是实数,b≠0,
∴a2+b2=1,即|z|=1
∵ω=2a,-1<ω<2,
∴z的实部的取值范围是(-,1)
(2)证明:u==
= =-i
∵a∈(-,1),b≠0,
∴u为纯虚数
(3)解:ω-u2=2a+
=2a-1+
=2[(a+1)+]-3
∵a∈(-,1),∴a+1>0
∴ω-u2≥2×2-3=1
当a+1=,即a=0时,上式取等号
∴ω-u2的最小值为1
13. 已知,且复数的虚部减去它的实部所得的差等于,求复数的模;
解.
即
12. 已知复数当求a的取值范围,
解:
因
故a的取值范围是
11.已知z是复数,z+2i、均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围
解:设z=x+yi(x、y∈R),
∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2
==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+ (x-4)i
由题意得x=4,∴z=4-2i
∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
根据条件,已知解得2<a<6,
∴实数a的取值范围是(2,6)
10.若复数(a∈R,i为虚数单位位)是纯虚数,则实数a的值为_____
◆练习简答:1-4.DDDB; 5.-i ; 6.0; 7.; 8.; 9.; 10.-6.
[解答题]
9.若 , ,且为纯虚数,则实数a的值为___ .
8.(2005全国Ⅲ).已知复数z0=3+2i, 复数z满足zz0=3z+z0,则z=
7.(2006广东) 若复数满足方程,则_______
6. (2005湖南)复数z=i+i2+i3+i4+……+i2008=__________
5.(2005全国Ⅰ)复数的共轭复数是 ________