2.求下列两条直线的夹角：

(1)＝3－1，＝－+4；

(2)－＝5；＝4.

(3)5－3＝9，6+10+7＝0.

解：(1) ＝3，＝－，则 k₁·＝-1，此时，两直线夹角为90°.

(tan＝，分母为0，正切值不存在).

　(2) ＝1，＝0，tan＝＝1，∴＝45°，

即两直线夹角为45°.

(3) ＝，＝－，∴·＝－1，∴两直线夹角为90°

1．求下列直线到的角与到的角：

(1)：＝+2；：＝3+7；

(2) ：－＝5；：+2－3＝0

解：(1)∵＝，＝3，∴设到的角为，

则tan＝＝1

∴＝45°即到的角为45°.∴到的角为135°.

(2)解：∵＝1，＝－

∴设到的角为，则到的角为＝π－

∴tan＝，∴＝π－arctan3. ＝arctan3

即到的角为π－arctan3，到的角为arctan3

例1　 求直线的夹角(用角度制表示)

解:由两条直线的斜率得

利用计算器计算或查表可得:≈71°34′

说明:应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握.

例2 等腰三角形一腰所在直线的方程是,底边所在直线的方程是,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线的方程.

解:设，，的斜率分别为, 到的角是, 到的角是,则

因为，，所围成的三角形是等腰三角形,所以

,　 即

将代入得解得

因为经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为,得:.　 即直线的方程

4．直线，的夹角公式: 　

根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由到的角取绝对值而得到与的夹角公式.这一公式由夹角定义可得

3．直线到的角的公式:.

推导:设直线到的角，.

如果

如果,设，的倾斜角分别是和，

则.

由图(1)和图(2)分别可知

于是

2．直线到的夹角定义:

如图，到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.

当直线⊥时,直线与的夹角是.

夹角：0°＜≤90°.

说明: ＞0, ＞0,且+=π

1.直线到的角的定义：

两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.

在图中,直线到的角是, 到的角是.

　到的角：0°＜θ＜180°.

2．斜率存在时两直线的平行与垂直：

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且

已知直线、的方程为：，

：

∥的充要条件是

⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．

已知直线和的一般式方程为：，

：，则

1．特殊情况下的两直线平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；

(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直

34.读“二分二至时地球的位置”图，完成下列各题:(12分)

　 ⑴在图中公转轨道上用箭头标出地球的公转方向。

　 ⑵在地球位于A处时，北半球的节气是____________，太阳直射点所在的纬线是________

_________________________。

　 ⑶当地球位于B处时，太阳直射在____________上，此时尉氏县的昼长为__________小时。

　 ⑷在C处地球上画出晨昏线，并标出是晨线还是昏线；此时南半球进入_________(季节);北半球的昼夜长短状况___________________。

⑸当地球从C运动到D处时，上海的昼长_________(渐长或渐短)，正午太阳高度________(变大或变小)。

选择题：