2．两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有一电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为弧电阻可忽略不计的金属棒ab，在沿着斜面、与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，并上升高度h，如图所示，在这个过程中　　 (　　 )

A．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于零

B．作用于金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上发出的焦耳热之和

C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零

D．恒力F与重力的合力所做的功等于电阻R上发出的焦耳热

1．如图甲所示，电流恒定的通电直导线MN，垂直平放在两条相互平行的水平光滑长导轨上电流方向由M指向N，在两导轨间存在着垂直纸面向里的磁场，当t=0时导线恰好静止，若磁感应强度B按如图乙所示的余弦规律变化，下列说法正确的是　　 ( 　　)

A．在最初一个周期内，导线在导轨上做机械振动

B．在最初一个周期内，导线一直向左运动

C．在最初的半个周期内，导线的加速度先增大后减小

D．在最初的半个周期内，导线的速度先增大后减小

11、解：(1)安培力F＝BIL，I＝，由题意得v＝v₀－，所以F＝＝－，成线性关系。

(2)开始运动瞬间x＝0，F₀＝，停止运动时v’＝0，F’＝0，

(3)安培力与位移成线性关系，所以安培力做的功与平均力做的功相等，即W＝x_m＝x_m，由v’＝v₀－＝0，得x_m＝，所以W＝＝mv₀²＝DE_k，命题得证，

(4)根据能量守恒DE＝DE_k＝mv₀²

电磁感应与能量(1课时)

要点分析

电磁感应中的综合性问题最典型的就是滑轨类问题，其中涉及到电磁感应能的综合应用，是考查学生综合分析问题能力并提升区分度的主要题型之一．本部分主要以选择题、计算题的形式对学生进行考查．

从能量转化的角度来看，电磁感应现象的本质是通过克服磁场力做功，把机械能或其它形式的能转化为电能．把握好能量守恒的观点，是解决此类问题的基本方法．在分析过程中考生务必分析清楚安培力做功的实质及其所引起的能量转化过程。

考生经常出现的错误是对基本概念的理解不清晰，如对安培力做功，引起什么能转化成什么能搞不清楚．

典型例题

例1．如图甲所示，空间有一宽为2L的匀强磁场区域，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外．abcd是由均匀电阻丝做成的边长为L的正方形线框，总电阻为R．线框以垂直磁场边界的速度v匀速通过磁场区域．在运动过程中，线框ab、cd两边始终与磁场边界平行．线框刚进入磁场的位置x=0，x轴沿水平方向向右．求：

(1)cd边刚进入磁场时，ab两端的电势差，并指明哪端电势高；

(2)线框穿过磁场的过程中，线框中产生的焦耳热；

(3)在下面的乙图中，画出ab两端电势差U₀随距离变化的图象．其中U₀=BLv₀．

例2．如图(a)所示，光滑的平行长直金属导轨置于水平面内，间距为L、导轨左端接有阻值为R的电阻，质量为m的导体棒垂直跨接在导轨上．导轨和导体棒的电阻均不计，且接触良好．在导轨平面上有一矩形区域内存在着竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．开始时，导体棒静止于磁场区域的右端．当磁场以速度v₁匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内．

(1)求导体棒所达到的恒定运度v₂；

(2)为使导体棒能随磁场运动，阻力最大不能超过多少?

(3)导体棒以恒定速度运动时，单位时间内克服阻力所做的功和电路中消耗的电功率各为多大?

(4)若t=0时磁场由静止开始水平向右做匀加速直线运动，经过较短时间后，导体棒也做匀加速直线运动，其v-t关系如图(b)所示，已知在时刻t导体棒瞬时速度大小为v_t，求导体棒做匀加速直线运动时的加速度大小．

例3．如图所示，平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R₁和R₂相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．有一导体棒ab，质量为m，导体棒的电阻与固定电阻R₁和R₂的阻值均相等，与导轨之间的动摩擦因数为μ，导体棒ab沿导轨向上滑动，当上滑的速度为v时，受到安培力的大小为F．此时　 (　　 )

A．电阻R₁消耗的热功率为Fv/3

B．电阻R₂消耗的热功率为Fv/6

C．整个装置因摩擦而消耗的热功率为μmgvcosθ

D．整个装置消耗的机械功率为(F+μmgcosθ)v

例4．在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈中感应电流的正方向如图1所示．当磁场的磁感应强度B随时间t如图2变化时，能正确表示线圈中感应电动势E变化的是　　 ( 　 )

针对训练

10、解： (1)ε＝＝S＝kl²　 　　　　I＝＝　　　　

因为金属棒始终静止，在t时刻磁场的磁感应强度为B_t＝B₀+kt，所以

F_外＝F_A＝BIl＝(B₀+kt)l＝B₀+t　　　　 方向向右　　

(2)根据感应电流产生的条件，为使回路中不产生感应电流，回路中磁通量的变化应为零，

因为磁感强度是逐渐增大的，所以金属棒应向左运动(使磁通量减小)　

即：　 Δφ＝0，即Δφ＝B_tS_t－B₀S₀，

　也就是 　B_t l(l－vt)＝B₀ l²　　

得　　 B_t＝　　　　　　　　　

(3)如果金属棒的右匀速运动，因为这时磁感应强度

是逐渐减小的，同理可推得，

B_t＝　　　　　　　　　　

所以磁感应强度随时间变化的图像如右图(t₁时刻B_t不为零)　　

9、(1)V₁=4m/s　　　 (2)V₂=3m/s　　　 (3)a=11m/s²

8、解(1)线框下落阶段进入磁场做匀速运动，令此时的速度为v₂，则有

mg＝F_安+f　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

其中F_安＝BIa，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

故此　　　　　　　　　　　　　　　　

得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)令线框离开磁场向上升的阶段加速度为a_上，从最高点落至磁场过程中下降的加速度为

a_下，则必有

　　　　　　　　　　　　　　　 ④

而a₁＝(mg+f )/m,a₂＝(mg－f )/m ⑤

代入计算有

7、解： (1)对导轨进行受力分析有：

　　 其中　 对棒：　　　 　　则导轨的加速度：　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　可见当v=0时，a最大：

　 　　(2)当导轨达到最大速度时受力平衡即a=0，此时：　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　 　　　(3)设导轨下滑距离d时达到最大速度

　　　　　　　　　　　　　 　　　　d=6m　 　　　对导轨由动能定理得：　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 　　损失的机械能　　 　　　　　　　　

　　　　 J　　

6、解(1)回路中的磁场变化和导体切割磁感线都产生感应电动势

据题意，有　

　 ①　　　　　　　　　

　　　　 ②　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　 ③　　　　　　　　　　　　　　　　

联立求解得 ④　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　 ⑤

得　　　　　　 ⑥　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以，⑦　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即　 ⑧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)方法一错，方法二对；　　　　　　　　　　　　　　　　　

方法一认为闭合回路所消耗的能量全部来自于外力所做的功，而实际上磁场的变化也对闭合回路提供能量。方法二算出的I是电路的总电流，求出的是闭合回路消耗的总功率。

1、A　 2、BC　 3、ACD　 4、B　 5、C

11、如图所示，质量为m的跨接杆ab可以无摩擦地沿水平的导轨滑行，两轨间距为L，导轨一端与电阻R连接，放在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。杆从x轴原点O以大小为v₀的水平初速度向右滑行，直到停下。已知杆在整个运动过程中速度v和位移x的函数关系是：v＝v₀－。杆与导轨的电阻不计。

(1)试求杆所受的安培力F随其位移x变化的函数式；

(2)分别求出杆开始运动和停止运动时所受的安培力F₁和F₂；

(3)证明杆在整个运动过程中动能的增量DE_k等于安培力所做的功W；

(4)求出电阻R所增加的内能DE。

答案及解析

例1、[解析]ab沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力mg，支持力FN 、摩擦力Ff和安培力F安，如图所示，ab由静止开始下滑后，将是(为增大符号)，所以这是个变加速过程，当加速度减到a=0时，其速度即增到最大v=v_m，此时必将处于平衡状态，以后将以v_m匀速下滑。

E=BLv　 ①；

I=E/R　 ②

安培力F安方向如图示，其大小为：F安=BIL　 ③

由①②③可得

以ab为研究对象，根据牛顿第二定律应有：mgsinθ –μmgcosθ-=ma

ab做加速度减小的变加速运动，当a=0时速度达最大，ab达到vm时应有：

mgsinθ –μmgcosθ-=0　 ④　 ；由④式可解得

(1)电磁感应中的动态分析，要抓住“速度变化引起磁场力的变化”这个相互关联关系，从分析物体的受力情况与运动情况入手是解题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。

(2)在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。

例2、(1)由E=BLv、I=E/R和F=BIL知 F=(B²L²v)/R　 带入数据后得v₁=4m/s

(2)　 代入数据后得　 (3)　

例3、(1)

　　 (2)，，方向从b到a

针对训练