11.(2008·海南、宁夏，21，(1)(3)问)设函数f(x)=ax+(a,b∈Z)，曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y=3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.

(1)解　 f′(x)=a-,

于是

解得或

因为a,b∈Z,故f(x)=x+.

(2)证明　 在曲线上任取一点(x₀,x₀+),

由f′(x₀)=1-知,过此点的切线方程为

y-=(x-x₀).

令x=1,得y=,

切线与直线x=1的交点为;

令y=x,得y=2x₀-1,

切线与直线y=x的交点为(2x₀-1,2x₀-1);

直线x=1与直线y=x的交点为(1,1),

从而所围三角形的面积为

|2x₀-1-1|=|2x₀-2|=2.

所以,所围三角形的面积为定值2.

10.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离.

解　 设曲线上过点P(x₀,y₀)的切线平行于直线2x-y+3=0，即斜率是2，则y′|=

=|==2.

解得x₀=1,所以y₀=0,即点P(1，0)，

点P到直线2x-y+3=0的距离为,

∴曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是.

9.求下列函数在x=x₀处的导数.

(1)f(x)=cosx·sin²x+cos³x，x₀=；

(2)f(x)=，x₀=2；

(3)f(x)=，x₀=1.

解　 (1)∵f′(x)=［cosx(sin²x+cos²x)］′

=(cosx)′=-sinx,

∴f′()=-.

(2)∵f′(x)=

=

=,∴f′(2)=0.

(3)∵f′(x)=(x)′-x′+(lnx)′=-x-1+,

∴f′(1)=- .

8.若函数f(x)的导函数为f′(x)=-x(x+1),则函数g(x)=f(log_ax)(0＜a＜1)的单调递减区间是　　　　 .

答案　

7.曲线y=和y=x²在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是　　　 .

答案　

6.已知曲线S:y=3x-x³及点P(2，2)，则过点P可向S引切线，其切线共有　　　　 条.

答案　 3

5.(2009·徐州六县一区联考)若曲线f(x)=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为　　　　 .

答案　 (1，0)

4.曲线y=x³-2x²-4x+2在点(1,-3)处的切线方程是　　　　 .

答案　 　5x+y-2=0

3.若点P在曲线y=x³-3x²+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是　　　　　　 .

答案　

2.(2008·全国Ⅰ理，7)设曲线y=在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=　　　　　 .

答案　 -2