摘要：5．如图.O为坐标原点.直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a>0.b≠0).且交抛物线y2=2px(p>0)于M(x1.y1).N(x2.y2)两点. (1)写出直线l的截距式方程, (2)证明:+=, (3)当a=2p时.求∠MON的大小. 例6．已知抛物线x2＝4y的焦点为F.A.B是抛物线上的两动点.且＝λ(λ＞0)．过A.B两点分别作抛物线的切线.设其交点为M． (Ⅰ)证明·为定值, (Ⅱ)设△ABM的面积为S.写出S＝f(λ)的表达式.并求S的最小值． ［解］ (Ⅰ)由已知条件.得F(0.1).λ＞0． 设A(x1.y1).B(x2.y2)．由＝λ.即得 (-x1.1-y)＝λ(x2.y2-1). 将①式两边平方并把y1＝x12.y2＝x22代入得y1＝λ2y2 ③ 解②.③式得y1＝λ.y2＝.且有x1x2＝-λx22＝-4λy2＝-4. 抛物线方程为y＝x2.求导得y′＝x． 所以过抛物线上A.B两点的切线方程分别是y＝x1(x-x1)+y1.y＝x2(x-x2)+y2. 即y＝x1x-x12.y＝x2x-x22． 解出两条切线的交点M的坐标为． 所以·＝(.-2)·(x2-x1.y2-y1)＝(x22-x12)-2(x22-x12)＝0 所以·为定值.其值为0． 知在△ABM中.FM⊥AB.因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝＝ ＝＝+． 因为|AF|.|BF|分别等于A.B到抛物线准线y＝-1的距离. 所以|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝λ++2＝(+)2． 于是S＝|AB||FM|＝(+)3.由+≥2知S≥4.且当λ＝1时.S取得最小值4． ［警示］有向线段所成的比.线段的定比分点等概念.本身就是解析几何研究的一类重要问题.向量概念的引入.使这类问题的解决显得简洁而流畅.由于向量可以用一条有向线段来表示.有向线段的方向可以决定解析几何中直线的斜率.故直线的方向向量与解析几何中的直线有着天然的联系.求解此类问题的关键是:根据直线的方向向量得出直线方程.再转化为解析几何问题解决.求解这类问题可以用定比分点公式.也可以直接用有向线段的比解题.另外.向量的长度.点的平移等与解析几何都有着千丝万缕的联系.向量与解析几何的结合.为解决这些问题开辟了新的解题途径. ［变式训练］

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