4、摩擦力

　 (1)摩擦力的产生；两个相互接触的物体，有相对运动趋势(或相对运动)时产生摩擦力。

　 (2)作用效果：总是要阻碍物体间的相对运动(或相对运动趋势)。

　 (3)产生的条件：接触面粗糙；相互接触且挤压；有相对运动(或相对运动趋势)。

　 (4)摩擦力的方向：总是与物体的相对运动方向(或相对运动趋势方向)相反。

　 (5)摩擦力的大小：静摩擦力的大小与外力的变化有关，而与正压力无关，要计算静摩擦力，就需根据物体的运动状态，利用平衡条件或动力学规律来计算求解，其可能的取值范围是0＜F_f≤F_m；滑动摩擦力的大小与正压力成正比，即F=μF_N，其中的F_N表示正压力，不一定等于重力G；μ为动摩擦因数，与接触面的材料和状况有关。

例题：如图所示，用跟水平方向成α角的推力F推重量为G的木块沿天花板向右运动，木块和天花板间的动摩擦因数为μ，求木块所受的摩擦力大小。　

解析：由竖直方向合力为零可得F_N=Fsinα-G，因此有：f =μ(Fsinα-G)

例题：如图所示，A、B为两个相同木块，A、B间最大静摩擦力F_m=5N，水平面光滑。拉力F至少多大，A、B才会相对滑动？

解析：A、B间刚好发生相对滑动时，A、B间的相对运动状态处于一个临界状态，既可以认为发生了相对滑动，摩擦力是滑动摩擦力，其大小等于最大静摩擦力5N，也可以认为还没有发生相对滑动，因此A、B的加速度仍然相等。分别以A和整体为对象，运用牛顿第二定律，可得拉力大小至少为F=10N

(研究物理问题经常会遇到临界状态。物体处于临界状态时，可以认为同时具有两个状态下的所有性质。)

例题： 小车向右做初速为零的匀加速运动，物体恰好沿车后壁匀速下滑。试分析下滑过程中物体所受摩擦力的方向和物体速度方向的关系。

解析：物体受的滑动摩擦力的始终和小车的后壁平行，方向竖直向上，而物体的运动轨迹为抛物线，相对于地面的速度方向不断改变(竖直分速度大小保持不变，水平分速度逐渐增大)，所以摩擦力方向和运动方向间的夹角可能取90°和180°间的任意值。

3、弹力

　 (1)弹力的产生：发生弹性形变的物体，由于要恢复原来的形状，对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。

　 (2)产生的条件：两物体要相互接触；发生弹性形变。

　 (3)弹力的方向：①压力、支持力的方向总是垂直于接触面。

②绳对物体的拉力总是沿着绳收缩的方向。　　　

③杆对物体的弹力不一定沿杆的方向。如果轻直杆只有两个端点受力而处于平衡状态，则轻杆两端对物体的弹力的方向一定沿杆的方向。　　　　　

例题：如图所示，光滑但质量分布不均的小球的球心在O，重心在P，静止在竖直墙和桌边之间。试画出小球所受弹力。

解析：由于弹力的方向总是垂直于接触面，在A点，弹力F₁应该垂直于球面所以沿半径方向指向球心O；在B点弹力F₂垂直于墙面，因此也沿半径指向球心O。

　　 注意弹力必须指向球心，而不一定指向重心。又由于F₁、F₂、G为共点力，重力的作用线必须经过O点，因此P和O必在同一竖直线上，P点可能在O的正上方(不稳定平衡)，也可能在O的正下方(稳定平衡)。

例题： 如图所示，重力不可忽略的均匀杆被细绳拉住而静止，试画出杆所受的弹力。

解析：A端所受绳的拉力F₁沿绳收缩的方向，因此沿绳向斜上方；B端所受的弹力F₂垂直于水平面竖直向上。

　　 由于此直杆的重力不可忽略，其两端受的力可能不沿杆的方向。

　　 杆受的水平方向合力应该为零。由于杆的重力G竖直向下，因此杆的下端一定还受到向右的摩擦力f作用。

例题： 图中AC为竖直墙面，AB为均匀横梁，其重为G，处于水平位置。BC为支持横梁的轻杆，A、 B、C三处均用铰链连接。试画出横梁B端所受弹力的方向。

解析：轻杆BC只有两端受力，所以B端所受压力沿杆向斜下方，其反作用力轻杆对横梁的弹力F沿轻杆延长线方向斜向上方。　　

　 (4)弹力的大小：对有明显形变的弹簧、橡皮条等物体，弹力的大小可以由胡克定律计算。对没有明显形变的物体，如桌面、绳子等物体，弹力大小由物体的受力情况和运动情况共同决定，根据运动情况，利用平衡条件或动力学规律来计算。

胡克定律：在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的伸长(或收缩)的长度x成正比，F=kx，k是劲度系数。除此之外，一般物体的弹力大小，就需

例题：如图所示，两物体重分别为G₁、G₂，两弹簧劲度分别为k₁、k₂，弹簧两端与物体和地面相连。用竖直向上的力缓慢向上拉G₂，最后平衡时拉力F=G₁+2G₂，求该过程系统重力势能的增量。

解析：关键是搞清两个物体高度的增量Δh₁和Δh₂跟初、末状态两根弹簧的形变量Δx₁、Δx₂、Δx₁^/、Δx₂^/间的关系。

无拉力F时　 Δx₁=(G₁+G₂)/k₁，Δx₂= G₂/k₂，(Δx₁、Δx₂为压缩量)

加拉力F时　 Δx₁^/=G₂/k₁，Δx₂^/= (G₁+G₂) /k₂，(Δx₁^/、Δx₂^/为伸长量)

而Δh₁=Δx₁+Δx₁^/，Δh₂=(Δx₁^/+Δx₂^/)+(Δx₁+Δx₂)

系统重力势能的增量ΔE_p= G₁žΔh₁+G₂žΔh₂

整理后可得：

2、重力：由于地球吸引，而使物体受到的力。　

(1)重力的产生：由于地球的吸引而使物体受到的力叫重力。

　 (2)重力的大小：G=mg，可以用弹簧秤测量，重力的大小与物体的速度、加速度无关。

　 (3)重力的方向：竖直向下。

　 (4)重心：重力的作用点。重心的测定方法：悬挂法。重心的位置与物体形状的关系：质量分布均匀的物体，重心位置只与物体形状有关，其几何中心就是重心；质量分布不均匀的物体，其重心的位置除了跟形状有关外，还跟物体的质量分布有关。

1、力：力是物体对物体的作用。

⑴力是一种作用，可以通过直接接触实现(如弹力、摩擦力)，也可以通过场来实现(重力、电场力、磁场力)

⑵力的性质：物质性(力不能脱离物体而独立存在)；相互性(成对出现，遵循牛顿第三定律)；矢量性(有大小和方向，遵从矢量运算法则)；效果性(形变、改变物体运动状态，即产生加速度)

⑶力的要素：力的大小、方向和作用点称为力的三要素，它们共同影响力的作用效果。

力的描述：描述一个力，应描述力的三要素，除直接说明外，可以用力的图示和力的示意图的方法。

⑷力的分类：按作用方式，可分为场力(重力、电场力)、接触力(弹力、摩擦力)；接效果分，有动力、阻力、牵引力、向心力、恢复力等；接性质分，有重力、弹力、摩擦力、分子力等；按研究系统分，内力、外力。

4．(本小题满分10分)一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁(x)=x，f₂(x)=x²，f₃(x)=x³，f₄(x)=sinx，f₅(x)=cosx，f₆(x)=2．

　 (1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

　 (2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．

3．把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

　 (1) (t为参数)；　　　　

　 (2)(t为参数)；

2．已知E，F分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC和CD的中点，求：

　 (1)A₁D与EF所成角的大小；

　 (2)A₁F与平面B₁EB所成角；

　 (3)二面角C-D₁B₁-B的大小．

1．设n为大于1的自然数，求证：．

20．(本题满分16分)

　　　 已知函数，．

　 (1)当时，若上单调递减，求a的取值范围；

　 (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值；

　 (3)对满足(II)中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，．

附加题

19．(本小题满分16分)

　　　 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。

　 (I)设(单位：米)，要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围；

　 　 (II)若(单位：米)，则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。