4、力学单位制

⑴物理公式在确定物理间数量关系(因果关系)的同时，也确定了物理之间的单位关系。

⑵单位制：由许多不同的物理量的单位构成一套单位。由基本单位和导出单位组成，国际单位制中基本单位有7个(见下表)，除基本单位外的其它单位都是由物理公式导出，称为导出单位。

⑶单位制的应用：

①导出单位用基本单位来表达；

②应用物理公式计算时必须采用同一单位制。

3、牛顿第三定律

⑴内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上，但作用点不在同一个物体上．

⑵注意：物体与物体之间的作用力和反作用力总是同时产生、同时消失、同种性质、分别作用在相互作用的两个物体上，它们分别对这两个物体产生的作用效果不能抵消．

⑶作用力和反作用力与一对平衡力的区别：二对作用力与反作用力分别作用在两个不同的物体上，而平衡力是作用在同一物体上；作用力与反作用力一定是同一性质的力，平衡力则可以是也可以不是；作用力和反作用力同时产生、同时消失，而一对平衡力，当去掉其中一个力后，另一个力可以继续作用

⑷借助作用力与反作用力的关系，可以在解决实际问题时，根据需要变换研究对象，使得对实际问题的求解更为简便、可行．

2、牛顿第二定律

⑴内容：物体的加速度与所受合外力成正比，与物体的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同．

⑵公式：F_合 = ma

⑶理解牛顿第二定律时注意的问题

①瞬时性：力与加速度的产生是同时的，即同时增大，同时减小，同时消失．

　 F＝ma是对运动过程中的每一个瞬间成立的，某一时刻的加速度大小总跟那一时刻的合外力大小成正比，即有力作用就有加速度产生；外力停止作用，加速度随即消失，二者之间没有时间上的推迟或滞后，在持续不断的恒定外力作用下，物体具有持续不断的恒定加速度；外力随时间改变，则加速度也随时间做同步的改变．

②矢量性：加速度的方向总与合外力方向一致．

作用力F和加速度a都是矢量，所以牛顿第二定律的表达式F＝ma是一个矢量表达式，它反映了加速度的方向始终跟合外力的方向相同．而速度方向与合外力方向没有必然联系．

③独立性：F_合应为物体受到的合外力，a为物体的合加速度；而作用于物体上的每一个力各自产生的加速度也都遵从牛顿第二定律，与其他力无关(力的独立作用性)．而物体的合加速度则是每个力产生的加速度的矢量和。

④在使用牛顿第二定律时还应注意：公式中的a是相对于惯性参照系的，即相对于地面静止或匀速直线运动的参照系．另外，牛顿第二定律只适用于宏观低速的物体，对微观高速物体的研究，牛顿第二定律不适用．(高速是指与光速可比拟的速度；微观是指原子、原子核组成的世界)．

1、牛顿第一定律

⑴内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止．

⑵理解牛顿第一定律时应注意的问题

①牛顿第一定律不像其他定律一样是实验直接总结出来的，它是牛顿以伽利略的理想实验为基础总结出来的．

②牛顿第一定律描述的是物体不受外力时的运动规律，牛顿第一定律是独立规律，绝不能简单地看成是牛顿第二定律的特例．

③牛顿第一定律的意义在于指出了一切物体都具有惯性，力不是维持物体运动的原因，而是改变物体运动状态产生加速度的原因．

⑶牛顿第一定律可以从以下几个方面来进一步理解：

①定律的前一句话揭示了物体所具有的一个重要属性，即“保持匀速直线运动状态或静止状态”，对于所说的物体，在空间上是指所有的任何一个物体；在时间上则是指每个物体总是具有这种属性．即在任何情况下都不存在没有这种属性的物体．这种“保持匀速直线运动状态或静止状态”的性质叫惯性．简而言之，牛顿第一定律指出了一切物体在任何情况下都具有惯性。

②定律的后一句话“直到有外力迫使它改变这种状态为止”实际上是对力下的定义：即力是改变物体运动状态的原因，而并不是维持物体运动的原因．

③牛顿第一定律指出了物体不受外力作用时的运动规律．其实，不受外力作用的物体在我们的周围环境中是不存在的．当物体所受到的几个力的合力为零时，其运动效果和不受外力的情况相同，这时物体的运动状态是匀速直线运动或静止状态．

应该注意到，不受任何外力和受平衡力作用，仅在运动效果上等同，但不能说二者完全等同，如一个不受力的弹簧和受到一对拉或压的平衡力作用的同一个弹簧，显然在弹簧是否发生形变方面是明显不同的．惯性：物体保持原来的匀速直线运动或静止状态的性质叫惯性．

⑷惯性是一切物体的固有属性，是性质，而不是力．与物体的受力情况及运动状态无关．因此说，人们只能利用惯性而不能克服惯性，质量是物体惯性大小的量度，即质量大的，惯性大；质量小的，惯性小．

2、动量守恒定律

(1) 几个概念

①系统：有相互作用的物体通常称为系统。

②内力：系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。

③外力：外部其他物体对系统的作用力叫做外力。

④系统的总动量：系统中各物体在同一状态相对同一参考系的动量的矢量和，为系统该状态的总动量。

(2)内容：一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

(3)理论推导

①第一个小球和第二个小球在碰撞中所受的平均作用力F₁和F₂是一对相互作用力，大小相等，方向相反，作用在同一直线上，作用的时间相同，分别作用在两个物体上；

②第一个小球受到的冲量是F₁t₁；动量变化为ΔP₁＝m₁V₁′－m₁V₁，根据动量定理有：

F₁t₁＝m₁V₁′－m₁V₁

第二个小球受到的冲量是F₂t₂；动量变化为ΔP₂＝m₂V₂′－m₂V₂，根据动量定理有：：F₂t₂＝m₂V₂′－m₂V₂

③由牛顿第三定律知，F₁和F₂大小相等，方向相反，t₁和t₂相等。所以

F₁t₁＝－F₂t₂

m₁V₁′－m₁V₁＝－(m₂V₂′－m₂V₂)

由此得：　　　

m₁V₁+m₂V₂＝m₁V₁′+m₂V₂′

或者：　　 　　

P₁+P₂＝P₁′+P₂′

P＝P′

上式的物理含义是：两个小球碰撞前的总动量等于碰撞后的总动量。

(4)动量守恒的条件：系统不受外力或者所受外力之和为零。

注意：“外力之和”和“合外力”不是一个概念：外力之和是指把作用在系统上的所有外力平移到某点后算出的矢量和。合外力是指作用在单个物体(质点)上的外力的矢量和。

(5)表达式

P＝P′　　　　　　　　　　　　 (系统相互作用前的总动量P等于相互作用后的总动量P′)

ΔP＝0　 　　　　　　　　　　 (系统总动量变化为0)

如果相互作用的系统由两个物体构成，动量守恒的具体表达式为

P₁+P₂＝P₁′+P₂′　 (系统相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量)

m₁V₁+m₂V₂＝m₁V₁′+m₂V₂′

ΔP＝－ΔP＇　　　　　　　 (两物体动量变化大小相等、方向相反)

例题：如图，木块B与水平桌面的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后，留在木块内，将弹簧压缩到最短，现将子弹、木块和弹簧(质量不可忽略)合在一起作为研究对象(系统)，此系统从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个过程中，动量是否守恒？

解析：墙对系统有作用力，系统的合外力不等于零，系统的总动量不守恒

例题：放在光滑水平面上的A、B两小车中间夹了一压缩轻质弹簧，用两手分别控制小车处于静止状态，下面说法中正确的是

A．两手同时放开，两车的总动量为0

B．先放开右手，后放开左手，两车的总动量向右

C．先放开左手，后放开右手，两车的总动量向右

D．两手同时放开，两车的总动量守恒，两手放开有先后，两车的总动量不守恒

解析 ：根据动量守恒条件，两手同时放开，则两车所受外力之和为0，符合动量守恒条件，否则两车动量不守恒；若后放开右手，则小车受到右手向左的冲量作用，从而使两车的总动量向左；反之，则向右；所以选项A、B、D是正确的。

⑹适用条件：系统不受外力或合外力为零时系统的动量守恒。

近似适用条件： 　 (1)系统外力之和不为零，但系统相互作用力远大于外力，相互作用时间极短，也可认为系统动量守恒，如碰撞、爆炸等。 　 (2)系统外力之和不为零，但某一方向外力之和为零，系统在该方向动量守恒。

⑺适用的范围： 动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的规律之一，它的适用范围极广。 　 ①在发生相互作用时，不论相互作用的物体是粘合在一起还是分裂成碎块，不论相互作用的物体作用前后的运动是否在一条直线上，也不论相互作用的物体发生接触与否，动量守恒定律都是适用的。 　 ②动量守恒定律并不限于两个物体的相互作用，一个系统里可以包括任意数目的物体，只要整个系统受到的外力的合力为零，系统的动量就守恒。例如，太阳系里太阳和各行星之间，各行星相互之间，都有万有引力的作用，而太阳系距离其他天体很远，可以认为不受外力的作用，因此，整个太阳系的总动量是守恒的。 　 ③从大到星系的宏观系统，小到原子、基本粒子的微观系统，无论相互作用的是什么样的力，是万有引力、弹力、摩擦力也好，是电力、磁力也好，甚至是现在对其本性还不很清楚的原子核内的相互作用力也好，动量守恒定律都是适用的，就是说，原来的动量之和总是等于相互作用后的动量之和。

⑻动量守恒定律的特点

①矢量性：动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。当相互作用前后的动量在同一直线上时，规定一个正方向后，可以将各个动量带上正负号以表示其方向与正方向相同或相反，将矢量运算简化为代数运算，用求代数和的方法计算所用前后的总动量。动量守恒定律也可以有分量式。系统在某个方向上不受外力或者在该方向上所受外力的合力为零，则系统在该方向上符合动量守恒定律。 ②瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。因此，列出的动量守恒定律表达式m₁v₁+m₂v₂+…=m₁v₁'+m₂v₂'+…，其中v_l、v₂…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v_l'、v₂'，都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在具体问题中，可根据任何一个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。 ③相对性：物体的动量与参照系的选择有关。通常，取地面为参照系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。

⑼解题步骤：

①确定系统：明确研究对象，系统通常由两个或几个物体组成。分析系统受力情况，判断是否符合动量守恒条件。 　②选取时刻：根据题设条件，选取有关的两个(或几个)瞬间，找出这两个(或几个)瞬间系统的总动量。 　③规定方向：规定某个方向为正方向，凡与规定正方向一致的矢量均取正值，与规定正方向相反的矢量取负值。 　④列出方程：根据动量守恒定律，列出所选取两个时刻的动量守恒方程，并求出结果。

例题： 总质量为M的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v₀，速度方向水平。火箭向后以相对于地面的速率u喷出质量为m的燃气后，火箭本身的速度变为多大？

解析 ：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m，以v₀方向为正方向，

例题： 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？

解析 ：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。设人、船位移大小分别为l₁、l₂，则：mv₁=Mv₂，两边同乘时间t，ml₁=Ml₂，而l₁+l₂=L，∴

　　 应该注意到：此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。

做这类题目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系。

例题：如图所示，质量为0.4kg的木块以2m/s的速度水平地滑上静止的平板小车，车的质量为1.6kg，木块与小车之间的摩擦系数为0.2(g取10m/s²)。设小车足够长，求： 　(1)木块和小车相对静止时小车的速度。 　(2)从木块滑上小车到它们处于相对静止所经历的时间。 　(3)从木块滑上小车到它们处于相对静止木块在小车上滑行的距离。 　解析 ：(1)以木块和小车为研究对象，系统所受合外力为零，系统动量守恒，以木块速度方向为正方向，由动量守恒定律可得： 　　　木块m 　小车M 　初：v₀=2m/s 　v₀=0 　末：　v 　　v 　mv0=(M+m)v 　　　　　　　 　(2)再以木块为研究对象，其受力情况如图所示，由动量定理可得 　 　

(3)木块做匀减速运动，加速度

　车做匀加速运动，加速度，

由运动学公式可得： 　　　 　　　　　　　　　　 　在此过程中木块的位移　　 　车的位移 　由此可知，木块在小车上滑行的距离为ΔS=S1-S2=0.8m 　即为所求。 　另解：设小车的位移为S2，则A的位移为S1+ΔS，ΔS为木块在小车上滑行的距离，那么小车、木块之间的位移差就是ΔS，作出木块、小车的v-t图线如图所示，则木块在小车上的滑行距离数值上等于图中阴影部分的三角形的“面积”。

警示！注意一题多解，能将各部分知识融会贯通、全面提升解题能力。

例题：在原子核中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡扳P，右边有一小球C沿轨道以速度射向球，如图所示。C与D发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧的长度变短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与档扳P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定(锁定与解除锁定均无机械能损失)。已知A、B、C三球的质量均为m。

(1)　　　 求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

(2)　　　 求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析 ：该题题目长，过程复杂，涉及情景较多。C与B碰撞瞬间满足动量守恒，碰后系统的机械能一直守恒；除A与P碰时，系统的动量不守恒，其余过程动量也守恒。但是题目中物体的状态及状态的变化不是一目了然的，这时画示意图尤为重要

(1)设C球与B球粘成D时，D的速度为，由动量守恒，有

　　 　　　　　　　　　　　　①　

跟踪对象

　　　　　 　　　　　　　　　②

由①、②两式得A的速度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 ③

(2)跟踪对象，分析其满足的条件

设弹簧长度被锁定后，储存在弹簧上的势能为，由能量守恒，有

　　　　　　　　　　 ④

　　 撞击P后，A与D的动能都能为零，解除锁定后，在弹簧仍处于压缩期间A静止，而D向右运动，当弹簧恢复到自然长度时，势能全部转化成D的动能，设D的速度为，则根据机械能守恒有

　　 　　　　　　　　　　　⑤

　以后弹簧伸长，当A球离开档扳P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长，设此时的速度为，由动量守恒，有

　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

　　　　　　　　　　 ⑦

解以上各式得：

　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

警示！同学们，一步一步跟踪对象，画好示意图，依据对象符合的条件，选用适合的规律，自然会柳暗花明。

1、动量定理

(1)内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化，这个结论叫做动量定理。　

(2)表达式：Ft＝mV′－mV＝P′－P

(3) 推导

问题：一个质量为m的物体，初速度为V，在合力F的作用下，经过一段时间t，速度变为V′，求：

①物体的初动量P和末动量P′分别为多少？

②物体的加速度a＝?

③据牛顿第二定律F＝ma可推导得到一个什么表达式？

解析：①初动量为P＝mV ，末动量为P′＝mV′

②物体的加速度a＝(V＇－V)/t

③根据牛顿第二定律F＝ma＝(mV＇－mV)/t可得

Ft＝mV′－mV

即　Ft＝P′－P

等号左边表示合力的冲量，等号右边是物体动量的变化量。

⑷说明：

①动量定理Ft＝P′－P是矢量式，Ft指的是合外力的冲量，ΔP指的是动量的变化。

动量定理说明合外力的冲量与动量变化的数值相同，方向一致，单位等效，但不能认为合外力的冲量就是动量的增量。对方向变化的力，其冲量的方向与力的方向一般不同，但冲量的方向与动量变化的方向一定相同。　

若公式中各量均在一条直线上，可规定某一方向为正，根据已知各量的方向确定它们的正负，从而把矢量运算简化为代数运算。公式中的“－”号是运算符号，与正方向的选取无关。　

②动量定理揭示的因果关系。它表明物体所受合外力的冲量是物体动量变化的原因，物体动量的变化是由它受到的外力经过一段时间积累的结果。

③动量定理的分量形式：物体在某一方向上的动量变化只由这一方向上的外力冲量决定。

F_xt＝mV_x′－mV_x

F_yt＝mV_y′－mV_y

④动量定理既适用于恒力，也适用于变力。对于变力的情况，动量定理中的F应理解为变力在作用时间内的平均值。

⑤动量定理的研究对象。在中学阶段，动量定理的研究对象通常是指单个物体，合外力是指物体受到的一切外力的合力。实际上，动量定理对物体系统也是适用的。对物体系统来说，内力不会改变系统的动量，同样是系统合外力的冲量等于系统的动量变化。

⑥牛顿第二定律的动量表示，F＝(P′－P)/t＝ΔP/t。从该式可以得出：合外力等于物体的动量变化率。

(5)动量定理的特性

①矢量性：冲量、动量和动量变化均为矢量，动量定理为矢量关系；

②整体性：F和t，m和V不可分；运用动量定理可对整个过程建立方程，对过程的细节考虑较少，解题较动力学和运动学容易些。

③独立性：某方向的冲量只改变该方向的动量；

④对应性：Ft和ΔP应对应同一过程，F、V应对应同一惯性参考系；

⑤因果性：冲量是动量变化的原因，动量变化是力对时间累积的结果；

⑥变通性：在具体应用时，可用冲量代替匀变速曲线运动的动量变化，也可用动量变化代替变力的冲量。　

动量定理应用举例

(1)解释现象

①在ΔP一定的情况下，要减小力F，可以延长力的作用时间；要增大力F，可缩短力的作用时间。

②在F一定的情况下，作用时间t短则ΔP小，作用时间t长则ΔP大；

③在t一定的情况下，作用力F小则ΔP小，作用力F大则ΔP大。　

例题：鸡蛋从同一高度自由下落，第一次落在地板上，鸡蛋被打破；第二次落在泡沫塑料垫上，没有被打破。这是为什么？

解：两次碰地(或碰塑料垫)瞬间鸡蛋的初速度相同，而末速度都是零也相同，所以两次碰撞过程鸡蛋的动量变化相同。根据Ft=Δp，第一次与地板作用时的接触时间短，作用力大，

所以鸡蛋被打破；第二次与泡沫塑料垫作用的接触时间长，作用力小，所以鸡蛋没有被打破。(再说得准确一点应该指出：鸡蛋被打破是因为受到的压强大。鸡蛋和地板相互作用时的接触面积小而作用力大，所以压强大，鸡蛋被打破；鸡蛋和泡沫塑料垫相互作用时的接触面积大而作用力小，所以压强小，鸡蛋未被打破。)

例题： 某同学要把压在木块下的纸抽出来。第一次他将纸迅速抽出，木块几乎不动；第二次他将纸较慢地抽出，木块反而被拉动了。这是为什么？

解：物体动量的改变不是取决于合力的大小，而是取决于合力

冲量的大小。在水平方向上，第一次木块受到的是滑动摩擦力，一般来说大于第二次受到的静摩擦力；但第一次力的作用时间极短，摩擦力的冲量小，因此木块没有明显的动量变化，几乎不动。第二次摩擦力虽然较小，但它的作用时间长，摩擦力的冲量反而大，因此木块会有明显的动量变化。

(2)定量计算

应用动量定理解题的步骤：

①确定研究对象；

②对研究对象进行正确的受力分析，确定合外力及作用时间；

③找出物体的初末状态并确定相应的动量；

④如果初、末动量在同一直线上，则选定正方向，并给每个力的冲量和初、末动量带上正负号，以表示和正方向同向或反向；如果初、末动量不在同一直线上，则用平行四边形定则求解；

⑤根据动量定理列方程；

⑥解方程，讨论。

例题：一个质量为0.18kg的垒球，以25 m/s的水平速度飞向球棒，被球棒打击后，反向水平飞回，速度的大小为45 m/s，设球棒与垒球的作用时间为0.01 s，求球棒对垒球的平均作用力有多大？

解析：取垒球飞向球棒时的方向为正方向，垒球的初动量为P＝mV＝4.5kg·m/s，垒球的末动量为P＇＝mV＇＝－8.1kg·m/s，由动量定理可得

垒球所受的平均力为

垒球所受的平均力的大小为1260N，负号表示力的方向与所选的正方向相反，即力的方向与垒球飞回的方向相同。

⑶计算冲量的大小主要有下述的三种方法：

　　 第一种方法是：根据冲量的概念求解。即将已知的力F和作用的时间t代入下式：

　　　　　 (矢量式 )

　　 第二种方法是：根据“动量定理”求解。即用已知的和求出代入下式：

第三种方法是：求变力的冲量，不能直接用F·t求解，应该由动量定律根据动量的变化间接求解，也可以 F-t图像下的“面积”的计算方法求解。

例题：一个物体同时受到两个力F₁、F₂的作用，F₁、F₂与时间t的关系如图所示。若该物体从静止开始运动，则在0 – 10s的这段时间内，物体动量的最大值为___________。 解析：这是一个受两个线性变化力的问题，物体动量的情况应借助于图象去做，

　如图所示，做任一时刻的“面积”，S₁为F₁的冲量、S₂为F₂的冲量；不过S₁为正，S₂为负；这样从静止开始到t内的冲量为

而　　　

于是

所以，在5s时动量最大，最大值为25kg·m/s

警示！物理中的图象是多功能的，这里“面积”有正负，应该取代数和。

例题：从地面以速度竖直竖直向上抛出一气球，皮球落地时的速度为，若皮球运动中所受空气的阻力的大小与其速度的成正比，试求皮球在空气中的运动时间。

解析：如何突破这个问题？

阻力的变化引起加速度的变化，不过物体上升的位移与下降的位移等值、反向；作υ-t图，S₁为上升的位移、S₂为下降的位移大小；即

对全过程应用动量定理，得

这里，，如图所示

所以，

警示！应用图象、转化图象，可以突破难点。

例题：一质量为700g的足球从高处自由落下，落地后反跳到的高处。((g取10m/s²))

求：(1)球在与地面撞击的极短过程中动量变化如何？

(2)若球与地面的接触时间是0.02s,球对地面的平均作用力有多大？

　解析：(1) 球刚落地时速度大小为 　　　 方向为竖直向下。

反跳时(即离开地面的一瞬间)足球的速度大小为

方向为竖直向上。

所以，动量的变化为 　

方向为竖直向上。

(2)取向上为正，根据动量定理，球的动量改变正是球受到的冲量所致，所以 　　　　　　

其方向应该和动量增量的方向相同，即方向为竖直向上。 　根据作用与反作用的关系，球对地面作用的平均冲力的大小为637N、方向为竖直向下。 警示！建议不论作用时间长、短，都不要忽略重力。　　　　　　　　

例题：如图所示，，在光滑的水平面上静止放着两个相互接触的木块A和B，质量分别为m₁和m₂，今有一颗子弹水平地穿过两个木块，设子弹穿过A、B木块的时间分别为t₁和t₂，木块对子弹的阻力大小恒为f，则子弹穿出两木块后，木块A的速度和木块B的速度分别为多少?

解析：子弹打入A时，A、B具有共同的速度，子弹离开A打入B时，A、B的共同的速度也就是A的最终速度，

对A、B这一过程根据动量定理，

　　　　　　　　　 ①

第二阶段，对B根据动量定理，

　　　　　　　　　　　 ② 由①得 　　　　

将①代人②得　　

警示！虽然物体多，但是一一分析清楚，结合已知条件列出方程，就会解答。

例题： 质量为m的小球，从沙坑上方自由下落，经过时间t₁到达沙坑表面，又经过时间t₂停在沙坑里。求：⑴沙对小球的平均阻力F；⑵小球在沙坑里下落过程所受的总冲量I。

解：设刚开始下落的位置为A，刚好接触沙的位置为B，在沙中到达的最低点为C。⑴在下落的全过程对小球用动量定理：重力作用时间为t₁+t₂，而阻力作用时间仅为t₂，以竖直向下为正方向，有：

　 　mg(t₁+t₂)-Ft₂=0,　 解得：

　　 ⑵仍然在下落的全过程对小球用动量定理：在t₁时间内只有重力的冲量，在t₂时间内只有总冲量(已包括重力冲量在内)，以竖直向下为正方向，有：

mgt₁-I=0,∴I=mgt₁

这种题本身并不难，也不复杂，但一定要认真审题。要根据题意所要求的冲量将各个外力灵活组合。若本题目给出小球自由下落的高度，可先把高度转换成时间后再用动量定理。当t₁>> t₂时，F>>mg。

例题：质量为M的汽车带着质量为m的拖车在平直公路上以加速度a匀加速前进，当速度为v₀时拖车突然与汽车脱钩，到拖车停下瞬间司机才发现。若汽车的牵引力一直未变，车与路面的动摩擦因数为μ，那么拖车刚停下时，汽车的瞬时速度是多大？

解：以汽车和拖车系统为研究对象，全过程系统受的合外力始终为，该过程经历时间为v₀/μg，末状态拖车的动量为零。全过程对系统用动量定理可得：

　　 这种方法只能用在拖车停下之前。因为拖车停下后，系统受的合外力中少了拖车受到的摩擦力，因此合外力大小不再是。

例题：一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合，如图。已知盘与桌布的动摩擦因数为，盘与桌面间的动摩擦因数为。现突然以恒定加速度将桌布抽离桌面，加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后末从桌面掉下，则加速度满足的条件是什么？(以表示重力加速度)

解析：设圆盘的质量为，桌长为，，这一阶段圆盘的末速度为

解法一：(动量法)

第一阶段，对圆盘(在桌布上运动)根据动量定理，

　　　　　　　　　　　　　 　①

第二阶段，对圆盘(在桌面上运动，初速度，末速度临界值为0)根据动量定理，

　　　　　　　　 　　　　　　　②

　 在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为　

　　　　　　　　　 　　　　　　　　　③

　 这一阶段圆盘的位移为

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

第二阶段，盘的加速度为

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　 这一阶段圆盘的位移为　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥

　 桌布从盘下抽出所经历的时间为，在这段时间内桌布移动的距离为，有　　　　　　　 　　　 ⑦

　　 而 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑧

盘没有从桌面上掉下的条件是

　　　　　　　　　　　　　　　 ⑨

联立解得　　　　　　

解法二：(以牛顿定律为主)

在桌布从圆盘下抽出的过程中，

①

圆盘在桌面上运动的过程中，

②

第一阶段圆盘的末速度为

　　　　　　　　③

又　　　　　　　　 　　　　　　　　④

盘没有从桌面上掉下的条件是

　　　　　　　　⑤

桌布从盘下抽出所经历的时间为，在这段时间内桌布移动的距离为，有

　　　　　　　　　　　　　 　　　⑥

⑦ 而　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　⑧

由以上各式得

解法三：(能量法)

或直接写出：

盘没有从桌面上掉下的条件是

桌布从盘下抽出所经历的时间为，在这段时间内桌布移动的距离为，有

而　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

由以上各式得

解法四：(图象法)

所以，　　　　　

警示！物理中的规律是有内在联系的，多种方法、多个角度的解决问题是必须的，经常这样做一定会有长足的进步。

3、动量的变化　　

①动量变化的三种情况：动量大小变化、动量方向改变、动量的大小和方向都改变三种可能。　

②定义：在某一过程中，末状态动量与初状态动量的矢量差值，叫该过程的动量变化。

③计算　

a、如果v₁和v₂方向相同，计算动量的变化就可用算术减法求之。

　　 b、如果v₁和v₂方向相反，计算动量的变化就需用代数减法求之，若以v₂为正值，则v₁就应为负值。

　　 c、如果v₁与v₂的方向不在同一直线上，应当运用矢量的运算法则：

　　 如图1所示，mV₁为初动量，mV₂为末动量，则动量的变化(矢量式)

　即作mV₁的等大、反向矢量-mV₁，然后，将mV₂与-mV₁运用平行四边形定则作其对角线即为动量的变化，如图2所示。

或者将初动量与末动量的矢量箭头共点放置，自初动量的箭头指向末动量箭头的有向线段，即为矢量ΔP。

例题：一个质量是0.1kg的钢球，以6m/s的速度水平向右运动，碰到一块坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以6 m/s的速度水平向左运动，碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？

解析：取水平向右的方向为正方向，碰撞前钢球的速度V＝6m/s，碰撞前钢球的动量为

P＝mV＝0.1×6kg·m/s＝0.6kg·m/s

碰撞后钢球的速度为V′＝－6m/s，碰撞后钢球的动量为

P′＝mV′＝－0.1×6kg·m/s＝－0.6kg·m/s

碰撞前后钢球动量的变化为

ΔP＝Pˊ－P＝－0.6kg·m/s－0.6 kg·m/s＝－1.2 kg·m/s

且动量变化的方向向左。

[对例题的处理：①为熟悉动量变化的矢量运算，可先假定物体运动速度的方向没有变化，仅大小发生改变，要求学生算出动量的变化。②规定向右为正方向，求动量的变化量。③最后再要求学生用向左为正方向运算，求动量的变化量(练习一、第3题)。总结得出正方向的选择只是一种解题的处理手段，并不影响解题的结果。]

例题：一个质量是0.2kg的钢球，以2m/s的速度斜射到坚硬的大理石板上，入射的角度是45°，碰撞后被斜着弹出，弹出的角度也是45°，速度大小仍为2m/s，求出钢球动量变化的大小和方向？

解析：碰撞前后钢球不在同一直线上运动，据平行四边形定则， P′、P和ΔP的矢量关系如右图所示。

ΔP＝

方向竖直向上。　

总结：动量是矢量，求其变化量应用平行四边形定则；

在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。

例题：质量m为3kg的小球，以2m/s的速率绕其圆心O做匀速圆周运动，小球从A转到B过程中动量的变化为多少？从A转到C的过程中，动量变化又为多少？

解析：小球从A转到B过程中，动量变化的大小为kg·m/s，方向为向下偏左45°，小球从A转到C，规定向左为正方向，则ΔP＝12kg·m/s，方向水平向左。

例题：质量为m的小球由高为H的光滑斜面顶端无初速滑到底端过程中，重力、弹力、合力的冲量各是多大？

解析：力的作用时间都是，力的大小依次是mg、

mgcosα和mgsinα，所以它们的冲量依次是：

特别要注意，该过程中弹力虽然不做功，但对物体有冲量。

例题：以初速度v₀平抛出一个质量为m的物体，抛出后t秒内物体的动量变化是多少？

解析：因为合外力就是重力，所以Δp=Ft=mgt

　　 有了动量定理，不论是求合力的冲量还是求物体动量的变化，都有了两种可供选择的等价的方法。本题用冲量求解，比先求末动量，再求初、末动量的矢量差要方便得多。当合外力为恒力时往往用Ft来求较为简单；当合外力为变力时，在高中阶段只能用Δp来求。

2、动量

(1)定义：在物理学中，物体的质量m和速度V的乘积mV叫做动量，动量通常用符号P表示。　

(2)大小：物体在某一状态动量的大小等于物体的质量和物体在该时刻瞬时速度的乘积，即

P＝mV

计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。

(3)方向：动量也是矢量，动量的方向与速度方向相同。

动量的运算服从矢量运算规则，要按照平行四边形定则进行。

(4)单位：在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒(kg·m/s)

1kg·m/s＝1N·s

(5)说明

①动量是矢量。动量有大小和方向，动量的大小等于物体的质量和速度的乘积，方向与物体的运动方向相同。动量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。在一维情况下可首先规定一个正方向，这时求动量变化就可简化为代数运算。

②动量是状态量。动量与物体的运动状态相对应。计算动量时，要明确是哪个物体在哪个状态的动量，速度一定要是该状态的瞬时速度。

③动量与参考系有关。物体的速度与参考系有关，所以物体的动量也与参考系有关。在中学物理中，如无特别说明，一般都以地面为参考系。

1、冲量

　(1)定义

力F和力的作用时间t的乘积Ft叫做力的冲量，通常用I表示。

冲量表示力对时间的累积效果，冲量是过程量。

(2)大小：物体在恒力作用下，冲量的大小是力和作用时间的乘积，即

I＝Ft

计算冲量时，要明确是哪个力在哪一段时间内的冲量。

(3)方向：冲量是矢量，它的方向是由力的方向决定的。

如果力的方向在作用时间内不变，冲量方向就跟力的方向相同。

(4)单位：在国际单位制中，冲量的单位是牛·秒(N·s)。　

(5)说明

①冲量是矢量。恒力冲量的大小等于力和时间的乘积，方向与力的方向一致；冲量的运算符合矢量运算的平行四边形定则。

(怎样求合力的冲量，怎样求变力的冲量)

②冲量是过程量。冲量表示力对时间的累积效果，只要有力并且作用一段时间，那么该力对物体就有冲量作用。计算冲量时必须明确是哪个力在哪段时间内的冲量。

③冲量是绝对的。与物体的运动状态无关，与参考系的选择无关。

④冲量可以用F─t图象描述。

F─t图线下方与时间轴之间包围的“面积”值表示对应时间内力的冲量。

例题：①如图所示，一个质量为m的物块在与水平方向成θ角的恒力F作用下，经过时间t，获得的速度为V，求F在t时间内的冲量？

(大小：Ft；方向：与F的方向一致，与水平方向成θ角)

②一质量为mkg的物体，以初速度V₀水平抛出，经时间t，求重力在时间t内的冲量？　

(大小：mgt；方向：竖直向下)

例题：以初速度V₀竖直向上抛出一物体，空气阻力不可忽略。关于物体受到的冲量，以下说法中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　

A．物体上升阶段和下落阶段受到重力的冲量方向相反

B．物体上升阶段和下落阶段受到空气阻力冲量的方向相反

C．物体在下落阶段受到重力的冲量大于上升阶段受到重力的冲量

D．物体从抛出到返回抛出点，所受各力冲量的总和方向向下

解析：物体在整个运动中所受重力方向都向下，重力对物体的冲量在上升、下落阶段方向都向下，选项A错。

物体向上运动时，空气阻力方向向下，阻力的冲量方向也向下。物体下落时阻力方向向上，阻力的冲量方向向上。选项B正确。

在有阻力的情况下，物体下落的时间t2比上升时所用时间t1大。物体下落阶段重力的冲量mgt2大于上升阶段重力的冲量mgt1，选项C正确。

在物体上抛的整个运动中，重力方向都向下。物体在上升阶段阻力的方向向下，在下落阶段虽然阻力的方向向上，但它比重力小。在物体从抛出到返回抛出点整个过程中，物体受到合力的冲量方向向下，选项D正确。

综上所述，正确选项是B、C、D。

6、物体平衡问题的一般解题步骤

　(1)审清题意，选好研究对象。

　(2)隔离研究对象，分析物体所受外力，画出物体受力图。

　(3)建立坐标系或确定力的正方向．

　(4)列出力的平衡方程并解方程．

　(5)对所得结果进行检验和讨论．　　

例题： 一航天探测器完成对月球的探测任务后，在离开月球的过程中，由静止开始沿着与月球表面成一倾斜角的直线飞行，先加速运动，再匀速运动。探测器通过喷气而获得推动力。以下关于喷气方向的描述中正确的是

A.探测器加速运动时，沿直线向后喷气　　　

B.探测器加速运动时，竖直向下喷气

C.探测器匀速运动时，竖直向下喷气　　　　

解析：探测器沿直线加速运动时，所受合力F_合方向与运动方向相同，而重力方向竖直向下，由平行四边形定则知推力方向必须斜向上方，因此喷气方向斜向下方。匀速运动时，所受合力为零，因此推力方向必须竖直向上，喷气方向竖直向下。选C

例题：重G的均匀绳两端悬于水平天花板上的A、B两点。静止时绳两端的切线方向与天花板成α角。求绳的A端所受拉力F₁和绳中点C处的张力F₂。　　　　

解析：以AC段绳为研究对象，根据判定定理，虽然AC所受的三个力分别作用在不同的点(如图中的A、C、P点)，但它们必为共点力。设它们延长线的交点为O，用平行四边形定则作图可得：

例题：用与竖直方向成α=30°斜向右上方，大小为F的推力把一个重量为G的木块压在粗糙竖直墙上保持静止。求墙对木块的正压力大小N和墙对木块的摩擦力大小f。

解析：从分析木块受力知，重力为G，竖直向下，推力F与竖直成30°斜向右上方，墙对木块的弹力大小跟F的水平分力平衡，所以N=F/2，墙对木块的摩擦力是静摩擦力，其大小和方向由F的竖直分力和重力大小的关系而决定：

　　 当时，f=0；当时，，方向竖直向下；当时，，方向竖直向上。

例题：有一个直角支架AOB，AO水平放置,表面粗糙, OB竖直向下,表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图所示)。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F_N和摩擦力f的变化情况是

A.F_N不变，f变大　　 B.F_N不变，f变小　　 C.F_N变大，f变大　　 D.F_N变大，f变小

解析：以两环和细绳整体为对象求F_N，可知竖直方向上始终二力平衡，F_N=2mg不变；以Q环为对象，在重力、细绳拉力F和OB压力N作用下平衡，设细绳和竖直方向的夹角为α，则P环向左移的过程中α将减小，N=mgtanα也将减小。再以整体为对象，水平方向只有OB对Q的压力N和OA 对P环的摩擦力f作用，因此f=N也减小。答案选B。