1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

(1)两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。

(2)点到平面的距离

平面外一点P 在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。2等体积法。

(3)直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

(4)平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA′的长度为d ，在a 上有线段A′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝(“±”符号由实际情况选定)

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内。随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着“多一点思考,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。

预测07年高考试题：

(1)单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约5分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为6分左右；

(2)选择、填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提。

3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角；

2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；

1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；(对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离)。

2．反证法

反证法是立体几何中常用的间接证明方法。

其步骤是：①否定结论；②进行推理；③导出矛盾；④肯定结论．用反证法证题要注意：①宜用此法否；②命题结论的反面情况有几种。

2．“升降维”思想

直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的。运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决。运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法。平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程。

1．通过典型问题掌握基本解题方法，高考中立体几何解答题基本题型是：

(Ⅰ)证明空间线面平行或垂直；

(Ⅱ)求空间中线面的夹角或距离；

(Ⅲ)求几何体的侧面积及体积。

证明空间线面平行或垂直需注意以下几点：

①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。

②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一。

③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。

④三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑.应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直.另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一。

垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：

1　 平行转化：线线平行线面平行面面平行；

2　 垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直；

每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的。

例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。

题型1：线线垂直问题

例1．如图1所示，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、L、M、N分别为A₁D₁，A₁B₁，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。

证明：如图2，作GQ⊥B₁C₁于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A₁B₁C₁D₁，且Q为B₁C₁的中点。

在正方形A₁B₁C₁D₁中，由E、F、Q分别为A₁D₁、A₁B₁、B₁C₁的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。

点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想。

例2．(2006全国Ⅱ，19)如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点，证明：ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线。

证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C₁C，又C₁C∥＝B₁B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB。

∵AB＝BC，∴BO⊥AC，

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁，BD⊥AC₁，ED⊥CC₁，

∴ED⊥BB₁，ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线。

点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。

题型2：线面垂直问题

例3．(1)(2006北京文，17)如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC₁A₁。

(2)(2006天津文，19)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。

(I)证明平面；

(II)设证明平面。

证明：(1)∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，

∴CC₁⊥平面ADCD,

∴BD⊥CC₁

∵ABCD是正方形

∴BD⊥AC

又∵AC，CC₁平面ACC₁A₁,

且AC∩CC₁=C,

　∴BD⊥平面ACC₁A₁。

(2)证明：

(I)取CD中点M，连结OM。

　　　 在矩形ABCD中，　　　 又

　　　 则连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。

　　　 又平面CDE，且平面CDE，

平面CDE。

(II)连结FM。

由(I)和已知条件，在等边中，　

且

　　　 因此平行四边形EFOM为菱形，从而。

　　　 平面EOM，从而

　 而所以平面

点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。

例4．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁ 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA₁ ＝，D 是A₁B₁ 中点．(1)求证C₁D ⊥平面A₁B ；(2)当点F 在BB₁ 上什么位置时，会使得AB₁ ⊥平面C₁DF ？并证明你的结论。

分析：(1)由于C₁D 所在平面A₁B₁C₁ 垂直平面A₁B ，只要证明C₁D 垂直交线A₁B₁ ，由直线与平面垂直判定定理可得C₁D ⊥平面A₁B。

(2)由(1)得C₁D ⊥AB₁ ，只要过D 作AB₁ 的垂线，它与BB₁ 的交点即为所求的F 点位置。

(1)证明：如图，∵　 ABC-A₁B₁C₁ 是直三棱柱，

∴　 A₁C₁ ＝B₁C₁ ＝1，且∠A₁C₁B₁ ＝90°。

又 D 是A₁B₁ 的中点，∴　 C₁D ⊥A₁B₁ 。

∵　 AA₁ ⊥平面A₁B₁C₁ ，C₁D 平面A₁B₁C₁ ，

∴　 AA₁ ⊥C₁D ，∴　 C₁D ⊥平面AA₁B₁B。

(2)解：作DE ⊥AB₁ 交AB₁ 于E ，延长DE 交BB₁ 于F ，连结C₁F ，则AB₁ ⊥平面C₁DF ，点F 即为所求。

事实上，∵　 C₁D ⊥平面AA₁BB ，AB₁ 平面AA₁B₁B ，

∴　 C₁D ⊥AB₁ ．又AB₁ ⊥DF ，DF C₁D ＝D ，

∴　 AB₁ ⊥平面C₁DF 。

点评：本题(1)的证明中，证得C₁D ⊥A₁B₁ 后，由ABC-A₁B₁C₁ 是直三棱柱知平面C₁A₁B₁ ⊥平面AA₁B₁B ，立得C₁D ⊥平面AA₁B₁B。(2)是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。

题型3：面面垂直问题

例5．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：(1)DE ＝DA ；(2)平面BDM ⊥平面ECA ；(3)平面DEA ⊥平面ECA。

分析：(1)证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。(2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由(1)知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。

证明：(1)如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵　 EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴　 DB ⊥AB ，EC ⊥BC。

∵　 BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，

∴　 Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

(2)取AC 中点N ，连结MN 、NB ，

∵　 M 是EA 的中点，

∴　 MN EC。

由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵　 DE ＝DA ，M 是EA 的中点，

∴　 DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，

∴　 DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。

(3)∵　 DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，

∴　 平面DEA ⊥平面ECA。

点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。

例6．(2003京春理，19)如图所示，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4.E，F分别为棱AB，BC的中点，EF∩BD=G。

(Ⅰ)求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；

(Ⅱ)求点D₁到平面B₁EF的距离d；

(Ⅲ)求三棱锥B₁-EFD₁的体积V。

(Ⅰ)证法一：连接AC。

∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形。

∴AC⊥BD，又AC⊥D₁D，故AC⊥平面BDD₁B₁

∵E，F分别为AB，BC的中点，故EF∥AC，∴EF⊥平面BDD₁B₁

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁。

证法二：∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45°，∴EF⊥BD.

∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁。

(Ⅱ)解：在对角面BDD₁B₁中，作D₁H⊥B₁G，垂足为H

∵平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁，且平面B₁EF∩平面BDD₁B₁=B₁G，

∴D₁H⊥平面B₁EF，且垂足为H，∴点D₁到平面B₁EF的距离d=D₁H。

解法一：在Rt△D₁HB₁中，D₁H=D₁B₁·sinD₁B₁H，

∵D₁B₁=A₁B₁=4，

sinD₁B₁H=sinB₁GB=，

∴d=D₁H=4·

解法二：∵△D₁HB∽△B₁BG，∴

∴d=D₁H=。

解法三：如图所示，连接D₁G，则三角形D₁GB₁的面积等于正方形DBB₁D₁面积的一半.即B₁G·D₁H=BB₁²。

∴d=。

(Ⅲ)·d·.

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力。并进行一定的逻辑推理，在研究本题时，要注意摘出平面图形，便于计算。

题型4：射影问题

例7．(1)如图，正方形所在平面，过作与垂直的平面分别交、、于、K、，求证：、分别是点在直线和上的射影．

证明：∵ 面，∴ ，

∵ 为正方形，∴ ，

∵ 与相交，∴ 面，面，

∴ ．

由已知面，且面，

∴ ，

∵ ，∴　面，面，∴ ，

即 为点在直线上的射影，

同理可证得为点在直线上的射影。

点评：直线与平面垂直的判定定理和性质定理是解决两条直线的主要途径之一，另外，三垂线定理及逆定理、两条直线所成的角等也是证明两条直线垂直的常用的方法。

(2)(2006湖北理，18)如图，在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。

(Ⅰ)试确定，使直线与平面所成角的正切值为；

(Ⅱ)在线段上是否存在一个定点Q，使得对任意的，D₁Q在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。

解法1：(Ⅰ)连AC，设AC与BD相交于点O,AP与平面相交于点，连结OG，

因为PC∥平面，平面∩平面APC＝OG，

故OG∥PC，所以OG＝PC＝。

又AO⊥BD,AO⊥BB₁，所以AO⊥平面，

故∠AGO是AP与平面所成的角。

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝。

所以，当m＝时，直线AP与平面所成的角的正切值为。

(Ⅱ)可以推测，点Q应当是A_IC_I的中点O₁，

因为D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP。

那么根据三垂线定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影与AP垂直。

点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查运用向量知识解决数学问题的能力。

例8．如图1所示，已知A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，D是AC的中点。

(1)证明AB₁∥DBC₁；

(2)假设AB₁⊥BC₁，BC=2。

求线段AB₁在侧面B₁BCC₁上的射影长。

证明：(1)如图2所示，∵A₁B₁C₁-ABC是正三棱柱，

∴四边形B₁BCC₁是矩形。

连结B₁C，交BC₁于E，则BE=EC。

连结DE，在△AB₁C中，∵AD=DC，

∴DE∥AB₁，又因为AB₁平面DBC₁，DE平面DBC₁，∴AB₁∥平面DBC₁。

(2)作AF⊥BC，垂足为F。因为面ABC⊥面B₁BCC₁，

∴AF⊥平面B₁BCC₁。连结B₁F，则B₁F是AB₁在平面B₁BCC₁内的射影。

∵BC₁⊥AB₁，∴BC₁⊥B₁F。

∵四边形B₁BCC₁是矩形，∴∠B₁BF=∠BCC₁=90°，又∠FB₁B=∠C₁BC，∴△B₁BF∽△BCC₁，则==。

又F为正三角形ABC的BC边中点，因而B₁B²=BF·BC=1×2=2。

于是B₁F²=B₁B²+BF²=3，∴B₁F=，即线段AB₁在平面B₁BCC₁内的射影长为。

点评：建立直线和平面的位置关系与点、线在平面上的射影间的关系。

题型5：垂直的应用

例9．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，

，求异面直线与的距离。

解析：分别取、中点、，连结(图⑴)。

连结、(图⑵)

∵，为公共边，，

∴≌　 ∴

∵点为中点　 ∴　 同理：(图⑶)

又，，

∴即为异面直线与的公垂线段

如图⑵，在中，，，，

∴ ∴异面直线与的距离。

点评：求异面直线的距离，必须先找到两条异面直线的公垂线段。

例10．如图，在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点，对角线且它们所成的角为。

⑴求证：，⑵求四边形的面积。

解析：⑴在中，、分别是边、的中点，∴∥，

在中，、分别是边、的中点，∴∥，

　　 ∴∥且，

同理：∥且，

∵，∴，

∴四边形为菱形，∴。

⑵∵∥，∥，

∴(或的补角)即为异面直线与所成的角，

由已知得：(或)，

∴四边形的面积为：。

题型6：课标创新题

例11．(1)(2000全国，16)如图(1)所示，E、F分别为正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是图(2)的　　　 (要求：把可能的图的序号都填上)

图(1)

图(2)

答案：②③

解析：∵面BFD₁E⊥面ADD₁A₁，所以四边形BFD₁E在面ADD₁A₁上的射影是③，同理，在面BCC₁B₁上的射影也是③。

过E、F分别作DD₁和CC₁的垂线，可得四边形BFD₁E在面DCC₁D₁上的射影是②，同理在面ABB₁A₁，面ABCD和面A₁B₁C₁D₁上的射影也是②。

(2)(2000上海，7)命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥。

命题A的等价命题B可以是：底面为正三角形，且　　　　 的三棱锥是正三棱锥。

答案：侧棱相等(或侧棱与底面所成角相等……)

解析：要使命题B与命题A等价，则只需保证顶点在底面上的射影S是底面正三角形的外心即可，因此，据射影定理，得侧棱长相等。

例12．(1999全国，18)α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断：

①m⊥n　 ②α⊥β　 ③n⊥β　 ④m⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：　 　　　　　。

答案：m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β

点评：本题主要考查线线、线面、面面之间关系的判定与性质.但题型较新颖，主要表现在：题目中以立体几何知识为背景，给出了若干材料，要求学生能将其组装成具有一定逻辑关系的整体。考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向。

3．面面垂直

两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。

两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直)

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直)若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。