4.设f(x)=试确定a的值，

使f(x)成为区间(－∞，+∞)中的连续函数.

解：f(x)在(－∞，0］和(0，+∞)上连续，只要使f(x)在x=0处也连续.

1°　 f(x)在x=0处有定义.f(0)=a

2° f(x)=cosx=cos0=1.,f(x)=(a+x)=a.

要使f(x)存在. ∴a=1.

此时f(x)=1=f(0). ∴f(x)在x=0处连续.

∴a=1时f(x)在(－∞，+∞)上连续.

分段函数要连续，主要看各段的交界处是否连续

3.写出下列函数在x=－2的左极限、右极限，其中哪些函数在x=－2处极限不存在？

(1)f(x)=; (2)g(x)=4x³+3; (3)h(x)=; (4)v(x)=

分析：要求一个函数在一点处的左右极限，可画图.

解：(1)f(x)==x²　 (x≠－2)

f(x)=x²=4.f(x)=x²=4.∴f(x)=4.

　(2)g(x)= 　(4x³+3)=4·(－2)³+3=－29.

g(x)=(4x³+3)=4×(－2)³+3=－29.

∴g(x)=－29.

　(3)h(x)=(x+1)=－2+1=－1.

h(x)=(2x+3)=2(－2)+3=－1.

∴h(x)=－1.

(4)v(x)=x³=(－2)³=－8.

v(x)=(x²－3)=(－2)²－3=1.

∴v(x)不存在.

极限存在左、右极限存在且相等.

2.

解：分子分母同除x.

.

1.计算(r＞0)

解：1°　 0＜r＜1，∵r^x=0，∴.

2°　 r=1，r^x=1，∴

3°　 r＞1，0＜＜1，∴.

　∴

例1 等于(　 )

A.－1　　　　　　　　　 　 B.0　　　　　　　　　 　C.1　 　　　　　　　　　　　　　　 D.不能确定

答案: D. 因为当||＜1即a＜时，=0，

当||＞1时，不存在.

当=1即a=时，=1

当=－1时，也不存在.

例2 已知|a|＞|b|，且 (n∈N^*)，那么a的取值范围是(　 )

A.a＜－1　　　　　　　 B.－1＜a＜0　　C.a＞1　　　　 D.a＞1或－1＜a＜0

答案：D.左边=

右边=

∵|a|＞|b|，∴||＜1.　∴()ⁿ=0

∴不等式变为＜a，解不等式得a＞1或－1＜a＜0.

例1、例2在数列极限中，极限qⁿ=0要注意这里|q|＜1.这个极限很重要.

例3　=8，试确定a，b的值.

分析：因为x→2时，分母x－2用代入法时等于0，所以应该用因式分解法，则分母中应该也有x－2这个因子，只要将公因式x－2消去，用代入法求极限，再根据极限是8，就可以求a，b了.

解：

∴由题意

例4　求

分析：首先，当x=0代入分母时分母为零，所以可能要用因式分解法，但分子分母都是根式，所以要分别对分子分母有理化法.

解：

15.最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值 .

14.最小值

f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x₂)≤f(x)，那么f(x)在点x₂处有最小值f(x₂).

13.最大值

f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对于任意x∈［a，b］，f(x₁)≥f(x)，那么f(x)在点x₁处有最大值f(x₁).

12.函数f(x)在［a，b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端点x=a处有f(x)=f(a)，在右端点x=b处有f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数.

11.函数f(x)在(a，b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b)内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续函数.