例1 已知正三棱锥的底面边长为,过作截面垂直侧棱,且此截面与底面成的二面角,求此三棱锥的侧面积.

解:作底面,垂足为,则中心,

连结并延长交,连结

,∴

是二面角的平面角,

中,

例2.已知正三棱锥的高为,一个侧面三角形的面积为,求这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角

解:设正三棱锥,高

,连接

由三垂线定理知

为所求的侧面和底面所成的二面角的平面角,

,则,又

,∴

,得,∴所求二面角为

例3.如图,正四棱锥中,所有棱长都是的中点,

(1)求二面角的大小;

(2)如果点在棱上,那么直线能否垂直?

请说明理由

解:(1)取的中点,连结

是正三角形,

是二面角的平面角,

中,

故二面角的大小为

(2)设,以射线分别为轴建立空间直角坐标系,设

,∴不可能垂直

说明:证明线线垂直可以建系证明或用三垂线定理证明

例4.已知三棱锥中,⊥平面

分别是上的动点,且

(Ⅰ)求证:不论为何值,总有平面⊥平面

(Ⅱ)当为何值时,平面⊥平面

   证(Ⅰ)∵平面,∴

   ∵,且,∴平面

   又∵(),

   ∴不论为何值,恒有,∴平面平面

   ∴不论为何值恒有平面⊥平面

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又要平面平面

平面,∴

,由

故当时,平面平面

例5.如图,在棱锥中,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是菱形,且的中点,

(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求二面角的大小;      

(Ⅲ)求证:平面平面

分析:(Ⅲ)中平面与平面的公共棱不明显,因而可证明其中一个平面内的某一直线垂直于另一个平面.

证明:(Ⅰ)取中点,连结

∵侧面是边长为的正三角形,∴

∵侧面底面,∴底面

中,

,由三垂线定理知

(Ⅱ)∵,∴平面

,∴平面,∴是二面角的平面角,

,∴

∴二面角

(Ⅲ)取中点,连结,则,又,∴

又∵平面平面,∴

又∵,且平面平面

∴平面平面

16.某研究性学习小组在网上收集到如下信息:Fe(NO3)3溶液可以蚀刻银,制作美丽的银饰。他们对蚀刻银的原因进行了如下探究:

[实验]制备银镜,并与Fe(NO3)3溶液反应,发现银镜溶解。

(1)下列有关制备银镜过程的说法正确的是    

a.边振荡盛有2%的AgNO3溶液的试管,边滴入2%的氨水。至最初的沉淀恰好溶解为止。 b.将几滴银氨溶液滴入2 mL乙醛中。 c.制备银镜时,用酒精灯的外焰给试管底部加热。 d.银氨溶液具有较弱的氧化性。 e.在银氨溶液配制过程中,溶液的pH增大

[提出假设]假设1:Fe3+具有氧化性,能氧化Ag。

假设2:Fe(NO3)3溶液显酸性,在此酸性条件下NO3-能氧化Ag。

[设计实验方案,验证假设]

(2)甲同学从上述实验的生成物中检验出Fe2+,验证了假设1成立。请写出Fe3+氧化Ag的离子方程式:            

(3)乙同学设计实验验证假设2,请帮他完成下表中内容(提示: NO在不同条件下的还原产物较复杂,有时难以观察到气体产生)。

实验步骤(不要求写具体操作过程)
预期现象和结论

 

 
若银镜消失,假设2成立。
若银镜不消失,假设2不成立。

[思考与交流]

(4)甲同学验证了假设1成立,若乙同学验证了假设2也成立。则丙同学由此得出结论:Fe(NO3)3溶液中的Fe3+和NO都氧化了Ag。你是否同意丙同学的结论,并简述理由:                            

14.硫酸亚铁(FeSO4·7H2O)是一种重要的食品和饲料添加剂。实验室通过如下实验由废铁屑制备FeSO4·7H2O晶体:

①将5% Na2CO3溶液加入到盛有一定量废铁屑的烧杯中,加热数分钟,用倾析法除去Na2CO3溶液,然后将废铁屑用水洗涤2-3遍;

②向洗涤过的废铁屑中加入过量的稀硫酸,控制温度在50-80℃之间至铁屑耗尽;

③趁热过滤,将滤液转入到密闭容器中,静置、冷却结晶;

④待结晶完毕后,滤出晶体,用少量冰水洗涤2-3次,再用滤纸将晶体吸干;

⑤将制得的FeSO4·7H2O晶体放在一个小广口瓶中,密闭保存。

请回答下列问题:

(1)实验步骤①的目的是       ,加热的作用是          

(2)实验步骤②明显不合理,理由是                  

(3)实验步骤④中用少量冰水洗涤晶体,其目的是              

(4)经查阅资料后发现,硫酸亚铁在不同温度下结晶可分别得到FeSO4·7H2O、FeSO4·4H2O和FeSO4·H2O。硫酸亚铁在不同温度下的溶解度和该温度下析出晶体的组成如下表所示(仅在56.7℃、64℃温度下可同时析出两种晶体)。

硫酸亚铁的溶解度和析出晶体的组成

温度/℃
0
10
30
50
56.7
60
64
70
80
90
溶解度/g
14.0
17.0
25.0
33.0
35.2
35.3
35.6
33.0
30.5
27.0
析出晶体
FeSO4·7H2O
FeSO4·4H2O
FeSO4·H2O

请根据表中数据作出硫酸亚铁的溶解度曲线。

(5)若需从硫酸亚铁溶液中结晶出FeSO4·4H2O,

应控制的结晶温度(t)的范围为      

 0  402405  402413  402419  402423  402429  402431  402435  402441  402443  402449  402455  402459  402461  402465  402471  402473  402479  402483  402485  402489  402491  402495  402497  402499  402500  402501  402503  402504  402505  402507  402509  402513  402515  402519  402521  402525  402531  402533  402539  402543  402545  402549  402555  402561  402563  402569  402573  402575  402581  402585  402591  402599  447090 

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