4.一元二次不等式的解法步骤![]()
对于一元二次不等式
,设相应的一元二次方程
的两根为
,
,则不等式的解的各种情况如下表:
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二次函数 ( |
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一元二次方程 |
有两相异实根 |
有两相等实根 |
无实根 |
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R |
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方程的根→函数草图→观察得解,对于
的情况可以化为
的情况解决![]()
注意:含参数的不等式ax
+bx+c>0恒成立问题
含参不等式ax
+bx+c>0的解集是R;其解答分a=0(验证bx+c>0是否恒成立)、a≠0(a<0且△<0)两种情况![]()
题型讲解
例1 解不等式(1)
;(2)![]()
![]()
解:(1)原不等式化为:![]()
![]()
![]()
(2)原不等式化为:![]()
解得 ![]()
![]()
例2 解不等式![]()
解:(1)当
时,不等式的解集为![]()
(2)当
即
时,有
![]()
综上所述,原不等式的解集为![]()
![]()
例3 解不等式:|x-3|-|x+1|<1![]()
分析:关键是去掉绝对值
方法1:零点分段讨论法(利用绝对值的代数定义)
①当
时,![]()
∴
∴ 4<1 ![]()
②当
时
∴![]()
![]()
,∴![]()
③当
时
![]()
-4<1
∴![]()
综上,原不等式的解集为![]()
![]()
也可以这样写:
解:原不等式等价于
①
或②![]()
或 ③
,
解①的解集为φ,②的解集为{x|
<x<3},③的解集为{x|x
3},
∴原不等式的解集为{x|x>
}![]()
方法2:数形结合
从形的方面考虑,不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点![]()
![]()
∴原不等式的解集为{x|x>
}![]()
例4 已知不等式![]()
![]()
![]()
解:由题意可知
且-5和1是方程
的两根
![]()
故
的值分别为![]()
![]()
例5解关于
的不等式![]()
解:原不等式化为
![]()
![]()
![]()
例6若不等式
对于x取任何实数均成立,求k的取值范围
解:∵![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
(∵4x2+6x+3恒正),
∴原不等式对x取任何实数均成立,等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k>0对x取任何实数均成立![]()
∴
=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0
k2-4k+3<0
1<k<3![]()
∴k的取值范围是(1,3)![]()
逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分![]()
例7已知方程2(k+1)
+4kx+3k-2=0有两个负实根,求实数k的取值范围![]()
解:要原方程有两个负实根,必须:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
∴实数k的取值范围是{k|-2<k<-1或
<k<1}![]()
小结:
1
含绝对值不等式的解法:解含绝对值不等式,既要明确不等式的基本性质,又要根据绝对值的代数及几何意义,去掉绝对值符号,将其转化为一般的不等式(组)来解![]()
2
一元二次不等式的解法:将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来,主要是根据二次函数的图像来解二次方程![]()
如果不等式的系数含有字母,则应该根据情况予以讨论,如开口方向,两根的大小等等,这是数学中的分类讨论思想![]()
学生练习
1
不等式
的解集是( )
A![]()
B![]()
C![]()
D![]()
![]()
2
设
,则下列结论正确的是( )
A![]()
B![]()
![]()
C
D
![]()
3
绝对值大于2且不大于5的最小整数是
A
3
B
2
C
-2
D
-5
4
不等式
的解集是( )
A![]()
B![]()
C
D
![]()
5
设
( )
A![]()
B![]()
![]()
C![]()
D
![]()
6
若
的解是( )
A![]()
B
C![]()
D
![]()
7
不等式
的解集是( )
A![]()
B![]()
C![]()
D![]()
![]()
8
0的解集为( )
A![]()
B![]()
![]()
C![]()
D![]()
![]()
9
不等式
的解集是
![]()
10
已知不等式
的解集为
,则
= ,
=
11
不等式
的解集为
12
不等式
恒成立,则
的取值范围是
13
方程
有一正根,一负根,则实数
的取值范围是
14
解不等式:![]()
15
解不等式:![]()
16
解关于
的不等式![]()
17
若
的取值范围![]()
18
解下列不等式:(1)
(2)