2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，则　 (　 )

A.P≥Q　　　　　　　　 B.P≤Q　　　　　　　　 C.P＞Q　　　　　　　　 D.P＜Q

1. 若＜＜0，则下列结论不正确的是　 (　 )

A.a²＜b²　　　　　　　　　　　　　　　 B.ab＜b²

C.+＞2　　　　　　　　　　　　 D.|a|+|b|＞|a+b|

2．总结所学不等式证明的方法：

同步练习　　　　　 　6.4不等式的证明II

[选择题]

1．高考中一般不出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除掌握常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法(特别是三角换元)、放缩法以及数学归纳法等.

[例1]已知a，b∈R，且a+b=1　

求证：　

证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。　　

也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。

证法二：(放缩法)∵

　 ∴左边＝

＝右边

证法三：(均值换元法)∵，

所以可设，，

∴左边＝

＝右边

当且仅当t=0时，等号成立

　 点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元

证法四：(判别式法)

设y=(a+2)²+(b+2)²，

由a+b=1，有，

所以，

因为，所以，即

故

◆温馨提示:注意体验不等式证明方法的灵活性和各种证明方法间的内在联系.

[例2](1)设，且，求证： ；

　　 (2)设，且，求证：

[证明] (1)设

则 ，

=。

(2)设，

∵，∴ 。　　

于是。

[例3]已知a＞1，n≥2，n∈N^*.

求证：－1＜.

证法一：要证－1＜，

即证a＜(+1)ⁿ.

令a－1=t＞0，则a=t+1.

也就是证t+1＜(1+)ⁿ.

∵(1+)ⁿ=1+C+…+C()ⁿ＞1+t，

即－1＜成立.

证法二：设a=xⁿ，x＞1.

于是只要证＞x－1，

即证＞n.联想到等比数列前n项和

=1+x+…+x^n-1>n.　　

∴＞n.

[例4]已知

(1)求f(x)的单调区间；　　　　

(2)求证：x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y);

(3)若求证：

解: (1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形　 , 得 ,

(2)∵

∴

而

另法:

⑶　　

∴　　　　

点评：函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题　 型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.

[研讨.欣赏]数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1= (n≥1)

(1)用数学归纳法证明：a_n≥2(n≥2)；

(2)已知不等式ln(1+x)＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²(n≥1)，其中无理数e=2.71828…．

证明:(1)①当n=2时，a₂=2≥2，不等式成立．

②假设当n=k(k≥2)时不等式成立，即a_k≥2(k≥2)，

那么a_k+1=≥2．这就是说，当n=k+1时不等式成立．

根据①、②可知：a_k≥2对所有n≥2成立．

(2)由递推公式及(1)的结论有

a_n+1=≤，(n≥1)

两边取对数并利用已知不等式得

lna_n+1≤ln+lna_n≤lna_n+．

故lna_n+1－lna_n≤，(n≥1)．

上式从1到n－1求和可得

lna_n－lna₁≤++…++++…+

=1－++…=1－+1＜2，

即lna_n＜2，故a_n＜e² (n≥1)．

5.a＞b＞c，(+)(a－c)=(+)［(a－b)+(b－c)］

≥4. ∴+≥＞.答案：＞;　　　 6. S<1

4. a_n+1=≥==b_n+1.答案：a_n+1≥b_n+1

6.记S=，则S与1的大小关系是_________

简答:1-3.BAA;　 3.当n为正偶数时，a＜2－，2－为增函数，

∴a＜2－=.　 当n为正奇数时，－a＜2+，a＞－2－.

而－2－为增函数，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，)答案：A

5.若a＞b＞c，则+_______.(填“＞”“=”“＜”)

4. 在等差数列{a_n}与等比数列{b_n}中，a₁=b₁＞0，a_2n+1=b_2n+1＞0(n=1，2，3，…)，则a_n+1与b_n+1的大小关系是____________.